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Ungleichung mit mehreren Beträgen

Universität / Fachhochschule

Tags: Beträge, Ungleichung

Aryon

11:18 Uhr, 20.10.2012

Hallo zusammen!

Ich lerne gerade Schulstoff nach und bin dabei auf folgendes Problem gestoßen, bei dem ich nicht weiß, ob ich überhaupt richtig vorgehe.Ich habe schon einige Ungleichungen mit einem Betrag gelöst, aber bei diesen weiß ich im Moment nicht mehr weiter:

\frac{| x - 3 |}{| x + 5 |} \leq \frac{| x - 2 |}{| x + 4 |}

Ich habe damit angefangen den Definitionsbereich zu bestimmen mit D=R\

{

-5,-4,2,3}, da die Nenner nicht 0 werden dürfen und man durch Umformen jeden Betrag in den Nenner schreiben könnte.

Dann habe ich Fallunterscheidungen für jeden Betrag gemacht:

1) x > 3

oder

x < 3

2) x > 2

oder

x < 2

3) x > - 5

oder

x < - 5

4) x > - 4

oder

x < - 4

Nun meine (mir bewusste^^) Verständnisschwierigkeit. Wie löse ich nun die Beträge am geschicktesten auf. Für die extremen Werte

x > 3

oder

x < - 5

ist es noch recht klar, da alle Werte in den Beträgen entweder positiv oder negativ werden (nicht der Betrag selbst, der ja nicht negativ sein kann).

Wenn ich aber

x > 2

hernehme, stellt sich schon beim Betrag

| x - 3 |

wieder ein Fallunterschied ein. Im Intervall

(2,3)

wird der Inhalt negativ, bei (3,unendlich) ist der Wert positiv. Muss man hier weiters, für jeden Betrag nochmals Fallunterscheidungen machen, oder geht dies einfacher?

Ein weiteres Verständnisproblem ergibt sich mir, wenn ich versuche die Beträge aufzulösen. Soweit ich es verstanden habe, nimmt man ein Beispiel zur Fallunterscheidung wie zB

x > 3

und löst dann die Beträge mit Klammern ab, und ergänzt ein Vorzeichen - je nachdem, ob der Inhalt des Betrages positiv oder negativ war.

zB: für

x > 3

| x - 3 | | x + 4 | \leq | x - 2 | | x + 5 |

(x - 3) (x + 4) \leq (x - 2) (x + 5)

x^{2} + 4 x - 3 x - 12 \leq x^{2} + 5 x - 2 x - 10

x \leq 3 x + 2

- 2 x \leq 2

x \geq - 1

für

x < - 5

| x - 3 | | x + 4 | \leq | x - 2 | | x + 5 |

(- x + 3) (- x - 4) \leq (- x + 2) (- x - 5)

x^{2} - 3 x + 4 x - 12 \leq x^{2} + 5 x - 2 x - 10

- 2 x \leq 2

x \geq - 1

Hier glaube ich aber, dass bereits Fehler vorhanden sind, oder ich interpretiere das Ergebnis falsch.

Wenn ich nämlich

x \geq - 1

hernehme stimmt das Ergebnis für 0 für die Betragsungleichung schonmal nicht da

\frac{3}{5}

nicht kleiner oder gleich

\frac{1}{2}

sind. Oder darf ich für die Lösung nur alle

x > 3

nehmen?

Deshalb meine Fragen:

1)

Gehe ich prinzipiel richtig vor?

2)

Wie muss ich beim obig genannten Beispiel für zB

x > 2

vorgehen, wenn neue Fallunterscheidungen anstehen würden?

3)

Löse ich die Beträge richtig auf?

4)

Zu guter Letzt, wie interpretiere ich in diesem Fall das Ergebnis richtig?

Ich möchte in erster Linie mein Verständnis für diese Übung verbessern, deshalb bitte ich darum, möglichst nicht die Aufgabe durchzurechnen, sondern auf die Fragen einzugehen bzw grobe Fehler auzuzeigen.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tommy40629 aktiv_icon

18:31 Uhr, 20.10.2012

Habe mir jetzt nicht alles durchgelesen.

bringe das doch erst mal in die Form 0<= die Beträge.

Dann mit hauptnenner bilden die 2 Brüche zusammenfassen. Vielleicht sieht das ganze dann schon besser aus.

Und dann kannst Du schauen, wann ist der Bruch > Null und wann = Null.

Rabanus aktiv_icon

23:29 Uhr, 20.10.2012

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