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Ungleichungen mit der Taylorformel beweisen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

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Tags: Taylorformel, Ungleichung

Analina aktiv_icon

22:40 Uhr, 27.06.2016

Habe mich nach einigem zögern und immer weiter fortschreitender Verzweiflung endlich hier angemeldet mit der Hoffnung, in meinen Mathemodulen nicht komplett durchzufallen

Sind gerade bei der Taylorformel angekommen, die ich denke ich im Prinzip verstanden habe (Bis auf die Sache mit dem Restglied, mit diesem

ξ

usw.). Hatten bisher Aufgaben die relativ simpel zu lösen waren, eigentlich alle nach dem Einsetzprinzip, "Bilden sie das

n

. Taylorpolynom an Stelle

x_{0}

"

Nun aber gehts in den bekommenen Aufgaben direkt um den Beweis von Ungleichungen, hier habe ich bei keiner einzigen Aufgabe einen Ansatz. Beispielsweise soll man folgendes für

x \in] 0, \infty [

beweisen:

x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} < ln (1 + x) < x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}

Und ich habe keine Ahnung, was der Ansatz sein soll. Wenn ich an das denke was wir bisher gemacht haben - also Taylorpolynome bilden - müsste ich ja eine Entwicklungsstelle und den Grad wissen. Wie gehe ich bei diesen Aufgaben vor? Ich hab noch

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weitere Aufgaben dieser Art und die Hoffnung, dass wenn ich bei einer das Vorgehen verstehe, die anderen auch irgendwie hinkriege. So unterschiedlich kanns ja nicht sein..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

22:45 Uhr, 27.06.2016

"Wie gehe ich bei diesen Aufgaben vor?"

Bilde das Taylorpolynom 3. Grades für

\ln (1 + x)

und betrachte den entsprechenden Restglied.

Analina aktiv_icon

23:00 Uhr, 27.06.2016

Also wenn ich das Taylorpolynom 3. Grades für

ln (x + 1)

an der Stelle

x_{0}

berechne, krieg ich

ln (1 + x_{0}) + \frac{1}{x_{0} + 1} (x - x_{0}) - \frac{1}{{(x_{0} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} \cdot \frac{1}{6} {(x - x_{0})}^{3}

raus, das mit dem Restglied versteh ich nicht. Bräuchte ich da nicht sowieso ein Intervall? Und wie kommt man darauf, ausgerechnet davon jetzt das Taylorpolynom 3. Grades zu bilden?

DrBoogie aktiv_icon

23:06 Uhr, 27.06.2016

Gut Nimm jetzt

x_{0} = 0

.

"das mit dem Restglied versteh ich nicht. Bräuchte ich da nicht sowieso ein Intervall?"

Ja, brauchst Du. Nimm ein beliebiges.

"Und wie kommt man darauf, ausgerechnet davon jetzt das Taylorpolynom 3. Grades zu bilden?"

In der Ungleichung steht rechts das Taylorpolynom 3. Grades in

x_{0} = 0

Analina aktiv_icon

00:01 Uhr, 28.06.2016

Wenn ich

x_{0} = 0

nehme kriege ich raus:

\frac{2}{{(x + 1)}^{3}} \cdot \frac{1}{6} x^{3} - \frac{1}{2} + x

Wäre das mit dem Restglied dann so? :

\frac{f'''' (ξ)}{4!} {(x - 0)}^{4}

?

Dann würde bei mir folgendes rauskommen:

\frac{1}{24} \cdot \frac{- 6}{{(ξ + 1)}^{4}} \cdot x^{4}

Und was mach ich damit? Falls überhaupt richtig. Ich kann nicht ganz nachvollziehen, warum man hier die Restglieder ausrechnen muss..

DrBoogie aktiv_icon

03:39 Uhr, 28.06.2016

"Wenn ich x0=0 nehme kriege ich raus:"

Das ist nicht richtig. Was auch schon oben nicht richtig, habe leider übersehen.
Das Taylor-Polynom 3. Grades in

x_{0} = 0

für

\ln (1 + x)

ist einfach

x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3

.

Der Restglied hilft deshalb:

Wir haben

\ln (1 + x) = x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3 + \frac{f^{(4)} (ξ)}{4!} x^{4}

mit

ξ \in [0, x]

.
Wegen

f^{(4)} (ξ) = - \frac{3!}{(1 + ξ)^{4}}

folgt also
einerseits

\ln (1 + x) - (x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3) = \frac{f^{(4)} (ξ)}{4!} x^{4} = - \frac{x^{4}}{4 \cdot (1 + ξ)^{4}} < 0

und andererseits

x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3 - \ln (1 + x) = - \frac{f^{(4)} (ξ)}{4!} x^{4} = \frac{x^{4}}{4 \cdot (1 + ξ)^{4}} < x^{4} / 4

,
beide Ungleichungen zusammen ergeben gerade

x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3 - x^{4} / 4 < \ln (1 + x) < x - x^{2} / 2 + x^{3} / 3

Analina aktiv_icon

07:30 Uhr, 29.06.2016

Ich danke dir! Hab fast alle anderen Aufgaben jetzt auch hinbekommen, Prinzip war anscheinend nahezu immer dasselbe, bis auf ein paar extra schwierige Aufgaben..

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