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Unterschied Adjungierte und Inverse

Universität / Fachhochschule

Tags: adjungierte Matrix, invers

219957230 aktiv_icon

15:06 Uhr, 12.02.2011

Moin,

bin hier grade nen bisschen am verzweifeln. Kann mir jemand, am besten anhand eines Zahlenbeispiels, den Unterschied zwischen Adjungierte und Inverse Matrix erklären??

Hab das ganze mit dieser Matrix berechnet:

(\begin{array}{rcl} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array})

Hab gedacht ich hätte das system verstanden aber Excel sagt mir als Ergebnis irgendwie was anderes...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rentnerin

18:23 Uhr, 12.02.2011

Hallo,

meinst Du wirklich "Adjungierte" oder vielleicht doch "Adjunkte"?

Gruß Rentnerin

219957230 aktiv_icon

18:25 Uhr, 12.02.2011

Ja bei uns im Matheskript gibt es den Minor, die Adjunkte und Adjungierte. Das hängt alles irgendwie zusammen... Aber wie kein Plan

Rentnerin

18:38 Uhr, 12.02.2011

Hilft Dir das weiter:

http//de.wikipedia.org/wiki/Minor_(Mathematik)

219957230 aktiv_icon

20:38 Uhr, 12.02.2011

Danke... Bin zumindest jetzt soweit, dass ich

A^{- 1}

berechnen kann. Zumindest komme ich jetzt auf das selbe Ergebnis wie Kollege Excel... Aber ob es da nun nen Unterschied gibt oder nicht ist mir noch nicht klar geworden.

Rentnerin

12:11 Uhr, 13.02.2011

Mit Deiner Matrix

A = (\begin{array}{rcl} 4 & 3 & 2 \\ 1 & 5 & 3 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array})

bildest Du zunächst eine Matrix aus Unterdeterminanten

M_{i, j}

("Minoren") mit z.B.

M_{1, 1} = d e t (\begin{array}{rcl} 5 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}) = 2

, indem Du nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte die Determinante der entstehenden Matrix ermittelst. Als Minorenmatrix entsteht

M = (\begin{array}{rcl} 2 & 7 & 11 \\ 1 & 8 & 10 \\ - 1 & 10 & 17 \end{array})

.

Aus der Minorenmatrix entsteht die Matrix der Kofaktoren, indem Du die Vorzeichen alternierend wechselst, also aus den

M_{i, j}

die Matrix mit den Elementen

(- 1)^{i + j} \cdot M_{i, j}

bildest. In Deinem Fall entsteht

\tilde{M} = (\begin{array}{rcl} 2 & - 7 & 11 \\ - 1 & 8 & - 10 \\ - 1 & - 10 & 17 \end{array})

.

Von

\tilde{M}

bildest Du nun die "Adjungierte"; das ist Falle eines reellen Vektorraumes einfach die "Transponierte". Als Ergebnis erhältst Du die "Adjunkte"

\tilde{A}

von A:

\tilde{A} = {\tilde{M}}^{T} = (\begin{array}{rcl} 2 & - 1 & - 1 \\ - 7 & 8 & - 10 \\ 11 & - 10 & 17 \end{array})

.

Nun weisst Du wegen

A \cdot \tilde{A} = d e t (A) \cdot E

(E: Einheitsmatrix), dass im Falle

d e t (A) \neq 0

folgt:

\frac{1}{d e t (A)} \cdot \tilde{A} = \frac{1}{d e t (A)} \cdot A^{- 1} \cdot A \cdot \tilde{A} = \frac{1}{d e t (A)} \cdot A^{- 1} \cdot d e t A \cdot E = A^{- 1}

d e t (A)

lässt sich leicht bestimmen, wenn Du die erste Zeile von

A

mit der ersten Spalte von

\tilde{A}

multiplizierst.

Selbstverständlich kannst Du aus

A

sofort die Adjunkte

\tilde{A}

bilden, indem Du im Kopf gleich die Zeilen als Spalten anordnest und die Elemente mit dem richtigen Vorzeichen versiehst. Aus obigen Ausführungen lässt sich aber eher die Sequenz

Matrix

A

\to

Minorenmatrix

M

\to

Kofaktorenmatrix

\tilde{M}

\to

Adjungierte Kofaktorenmatrix

{\tilde{M}}^{T} =

Adjunkte

\tilde{A}

\to

inverse Matrix

A^{- 1}

darstellen, aus der Du nun hoffentlich die Zusammenhänge erkennen kannst.

Gruß Rentnerin

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