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Unterschied Nullfolge Konvergenz
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen, Konvergenz, Nullfolge, Reihen
 
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Hallo zusammen, kann mir bitte einer den Unterschied zwischen einer Nullfolge und Konvergenz erklären? Wenn ich beispielsweise den Grenzwert einer Folge mit dem Quotientenkriterium berechne und er ist kleiner als dann ist die Folge konvergent. Frage: Heißt konvergent= Nullfolge? Der Grenzwert kann ja bspw. sein, aber warum heißt die Folge dann Nullfolge? Viele Grüße, Burak Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo,
Du hast offensichtlich extreme Schwierigkeiten damit, was die Begriffe bedeuten! Du musst unbedingt die Definitionen der Begriffe kennen (nicht auswendig herbeten, sondern anwenden können!) "kann mir bitte einer den Unterschied zwischen einer Nullfolge und Konvergenz erklären?" Eine Nullfolge ist, wie der Name bereits sagt, eine Folge. Konvergenz ist eine Eigenschaft . von Folgen. Der gemeinsame Punkt von beiden ist, dass eine Nullfolge konvergent ist und dass zusätzlich ihr Grenzwert gleich Null ist. "Wenn ich beispielsweise den Grenzwert einer Folge mit dem Quotientenkriterium berechne ..." Mit dem Quotientenkriterium wird kein Grenzwert berechnet, mit dem Quotientenkriterium kann man die Konvergenz von Reihen (nicht Folgen!) zeigen. "... und er ist kleiner als dann ist die Folge konvergent." Beim Quotientenkriterium ist nicht der Grenzwert der Folge kleiner 1 sondern der Grenzwert Folge der paarweisen Quotienten zweier Folgenglieder. Und wenn der Grenzwert dieser Quotienten kleiner 1 ist, dann ist die Reihe konvergent und nicht die Folge. Die einer konvergenten Reihe zugrundeliegende Folge ist immer konvergent und ist eine Nullfolge! "Heißt konvergent= Nullfolge?" Das wäre eine Äquivalenzbeziehung, die aber nicht gilt. Aus der Konvergenz einer Reihe kann man schließen, dass die zugrundeliegende Folge eine Nullfolge ist, aber die Reihe zu einer Nullfolge ist nicht immer auch konvergent. Standardbeispiel dafür ist die Reihe zur Folge "Der Grenzwert kann ja bspw. sein, aber warum heißt die Folge dann Nullfolge?" Die Folge selbst ist eine Nullfolge, die Folge der Quotienten ist in diesem Falle eine konvergente Folge und konvergiert gegen . Damit ist bewiesen, dass die Reihe zur Folge konvergiert, der Grenzwert der Reihe aber ist selten Null oder gar . der Grenzwert der Reihe ist noch ein dritter Wert. Damit hast Du basierend auf einer Folge schon mal 3 Grenzwerte, deren Zahlenwerte untereinander absolut unabhängig sind! |
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Super erklärt. Hab es jetzt verstanden. Vielen Dank! |
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