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Unterschied zwischen Summe und direkter Summe

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Direkte Summe, Unterraum, Vektorraum

capstrovor aktiv_icon

16:08 Uhr, 04.11.2017

Hallo,
ich habe eine kleine Verständnisfrage:
In einer Aufgabe war gegeben, dass

V

ein Vektorraum über

K

ist, und

W_{1}

und

W_{2}

Unterräume von

V

sind.
Bei einer Aufgabe war gegeben, dass

V = W_{1} + W_{2}

und bei einer anderen, dass

V = W_{1}

eingekreistes

+ W_{2}

(also

V

ist die direkte Summe von

W_{1}

und

W_{2})

.

Mir ist der Unterschied noch nicht ganz klar. Bedeutet die direkte Summe, dass

W_{1}

linear unabhängig von

W_{2}

ist, dies bei der normalen Summe aber nicht der Fall sein muss?

Viele Dank für die Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:23 Uhr, 04.11.2017

Hallo,
die Summe ist direkt, wenn

W_{1} \cap W_{2} = {0}

ist.
Gruß ermanus

capstrovor aktiv_icon

16:28 Uhr, 04.11.2017

Also wenn zum Beispiel

V = ℝ^{3}, W_{1}

die xy-Ebene und

W_{2}

die yz-Ebene ist, dann wäre

V = W_{1} + W_{2}

. Aber es wäre keine Summe, da der Schnitt ja eine Gerade wäre.

Wenn

W_{2}

aber die Gerade auf der z-Achse ist, dann wäre es eine direkte Summe?

Vielen Dank für deine Antwort.

ermanus aktiv_icon

16:30 Uhr, 04.11.2017

Genauso ist es :-)

capstrovor aktiv_icon

16:31 Uhr, 04.11.2017

ok, vielen Dank!

LG Samuel.

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