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Untersuchung auf Injektivität und Surjektivität
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: injektiv, surjektiv
 
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| In der Uni wurde dieses Thema sehr schlecht erklärt und wir werden mit Aufgaben nur zugebombt... ich wäre dankbar, wenn irgendwer anhand eines allgemeingültigen Beispiels mal verständlich erklären kann, wie genau man dies untersucht. Danke im Vorraus |
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Hallo Problemchen, da hast Du ja mit einem allgemeingültigen Beispiel eine harte Nuss ins Forum gestellt. Ich versuche einmal, anhand von drei Beispielen aufzuzeigen, dass der Nachweis immer vollständig (die Beweise führe ich in dieser Antwort nicht aus) und der jeweiligen Situation angepasst erfolgen muss. Die Begriffe Surjektivität und Injektivität beziehen sich auf Abbildungen f : A ---> B zwischen Mengen. i) A, B endlich mit gleicher Mächtigkeit Beispiel: Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: a) f ist injektiv b) f ist surjektiv. Aus a) folgt b): Du hast zu zeigen, dass für ein beliebiges b aus B ein a aus A existieren muss, dass b = f(a) gilt; hier darfst Du die Gleichmächtigkeit beider Mengen und die Injektivität von f benutzen. ii) A = B = R (reelle Zahlen) f : R ---> R sei eine reelle Funktion mit vorgegebenem Funktionsterm f(x). Zur Überprüfung der Surjektivität von f wäre denkbar, dass die Gleichung y = f(x) als nach x auflösbar nachgewiesen werden kann. Aber das ist häufig sehr schwierig. Eine Alternative wäre dann denkbar, wenn f als stetig und beidseitig unbeschränkt nachgewiesen werden kann. iii) A und B sind endlich dimensionale Vektorräume und f ist linear. Surjektivität könnte über den vollen Rang einer zu f gehörenden Matrix bzgl. einer Basis nachgewiesen werden. Auch die Dimensionsformel könnte die Surjektivität nachweisen. Ich schaffe es also leider nicht, etwas Allgemeingültiges zu liefern. Vielleicht kannst Du Deine Probleme doch noch mehr konkretisieren. Gruß Rentnerin |
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Vielen Dank für die lange Antwort. Leider verstehe ich immer noch nicht all zu viel, deshalb gebe ich mal ein paar konkrete Beispiele: f: R-> R f(x)=sinx für alle x Element der reellen Zahlen (Winkel im Bogenmaß) f: P(M)-> P(M) f(A)= A (Strich) für alle A Element aus P (M) s sei eine Achsenspiegelung in der Ebene P an einer Geraden g und P' sei der Bildpunkt von P bei der Spiegelung: s: P->P s(P)= P' für alle P Element aus P f: N->N f(x)= |Tx| für alle x aus N :( |
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A) f : R --> R, f(x) = sin(x) Injektivität: f ist genau dann injektiv, wenn für beliebige x_1 und x_2 aus dem Definitionsbereich folgender Schluss gezogen werden kann: Aus f(x_1) = f(x_2) folgt x_1 = x_2. Bei reellen Funktionen kannst Du Dir meistens der Graph dazu vorstellen. Dann entspricht obiger Schluss folgender geometrischen Überlegung: Jede Parallele zur x-Achse darf den Graph höchstens einmal schneiden. Würde sie nämlich den Graph mindestens zweimal schneiden, dann hättest Du verschiedene x_1 und x_2 mit f(x_1) = f(x_2); es würde also aus der Gleichheit der Funktionswerte nicht auf die Gleichheit der Argumente x_1 und x_2 geschlossen werden können. Wenn Du der Meinung bist, dass eine Funktion injektiv ist, musst Du mit dem Ansatz Seien x_1 und x_2 aus der Definitionsmenge und sei f(x_1) = f(x_2) (wenn f(x) als Term gegeben ist, dann einfach die beiden Argumente einsetzen und zur Gleichung ergänzen). Aus dieser Gleichung musst Du nun mit (Äquivalenz)umformungen schließlich auf x_1 = x_2 gelangen. Wenn Du aber der Meinung bist, dass die Funktion nicht injektiv ist, dann musst Du zwei verschiedene x_1 und x_2 konkret angeben, für die f(x_1) = f(x_2) ist. Bei Deinem Beispiel ist f nicht injektiv, weil f(0) = 0 = f(pi). Surjektivität: f ist genau dann surjektiv, wenn es zu jedem y_1 aus R (rechte Menge bei Deiner Definition von f) mindestens ein x_1 aus R (linke Menge: Definitionsbereich) gibt, dass gilt: y_1 = f(x_1). Geometrisch bedeutet dies, dass jede Parallele zur x-Achse, die die y-Achse in einem Punkt der rechten Menge schneidet (hier ein beliebiger Punkt, da die Menge gleich R ist), den Graph mindestens einmal schneidet. Nur so findest Du einem beliebigen y_1 ein entsprechendes x_1. Wenn Du also der Meinung bist, dass Surjektivität vorliegt, dann beginnst Du mit Sei y_1 aus R beliebig; wenn f(x) als Term vorgegeben ist, folgt nun der Ansatz y_1 = f(x), der nach x aufzulösen ist. Dann wählst Du Dir ein Element x_1 der Lösungsmenge aus. Wenn Du der Meinung bist, dass f nicht surjektiv ist, dann suchst Du Dir ein y_1 aus, das nicht Funktionswert werden kann. Für diesen Nachweis brauchst Du dann Eigenschaften der Funktion, mit denen Du argumentieren kannst. Unser f ist nicht surjektiv, denn für y_1 = 2 gibt es kein x_1 mit f(x_1) = 2, da die Sinusfunktion per Definition nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann. Aber Achtung: Wenn Du die Mengen einschränkst, also z.B. g : A ---> B, g(x) = sin(x) mit A = [-pi/2;pi/2] und B = [-1;1], dann ist g injektiv und surjektiv. Hast Du zu dieser Aufgabe noch Fragen? Bei den anderen Aufgaben wird wohl P(M) die Potenzmenge einer Menge bedeuten; ist dann mit A (Strich) das Komplement von A gemeint? Welche Bedeutung hat T bei |Tx|? Gruß Rentnerin |
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Hallo
Ich sag dir mal wie du bei Aufgabe 1 herangehen kannst, die anderen beiden kannst du dann vielleicht selber versuchen.
ich behaupte, dass die Funktion weder injektiv noch surjetiv ist.
Beweis: 1) 5 ist element von R. Zu dieser 5 muss mindestens eine Zahl x aus R exisitieren, sodass f(x)=y gilt (für surjetivität). Somit hast du die Gleichung f(x)=5 bzw sin(x)=5
Diese Gleichung ist aber doch für KEIN x aus R erfüllt, den das globale Maximum der Funktion f(x)=sin(x) ist 1.
2) 1 ist sicherlich ein Element aus R. Zu dieser 1 muss genau 1 oder genau 0 x aus R existieren, sodass f(x)=y (injektivität). Wenn du also zwei oder sogar mehrere Zahlen aus der Menge R findest, ist f schon nicht mehr injektiv.
Wir haben hier die Gleichung f(x)=1 bzw sin(x)=1. Diese Gleichung hat aber beliebig viele Lösungen. genauer genommen ist die Lösungsmenge L={k aus Z|x=pi/2+2k*pi}
Diese Lösungen sind natürlich auch alle aus R. Somit kann f nicht injektiv (und auch nicht bijektiv) sein.
Ganz anders würde es übrigens aussehen, wenn die Abbildung so lauten würde:
f: [-pi/2;pi/2]-->[-1;1]; x-->sin(x)
Gruß Alex |
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Ich bin ein wenig verwirrt... ist die Funktion nun injektiv oder nicht? Die Surjektivität leuchtet mir jetzt ein. Vielen Dank!!!! Zu den anderen Aufgaben: P ist die Potenzmenge und A Strich das Komplement von A. Mit T ist die Teilmenge gemeint, denke ich. Noch eine Frage am Rande: Wir sollen auch das jeweilige Bild von f bestimmten. Für die Funktion, die ich jetzt soweit verstanden habe, zeichne ich dann einfach die Sinuskurve? |
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Jetzt bin ich aber etwas verwirrt. Ich habe doch unmissverständlich dazugeschrieben: Bei Deinem Beispiel ist f nicht injektiv, weil f(0) = 0 = f(pi). Wenn Du aber den Definitionsbereich einschränkst, kannst Du in der Regel aus einer nicht injektiven Funktion eine injektive Funktion machen. Der Funktionsbegriff umfasst nicht nur den Term, sondern auch Definitions- und Zielmenge; damit erhältst Du für ein und denselben Term verschiedene Funktionen, die auch verschiedene Eigenschaften haben können. Ist Dir das jetzt klar? Das Bild von f darf nicht mit dem Schaubild (Graph) verwechselt werden. Das Bild von f ist eine Teilmenge im Zielraum (hier also in R) und besteht aus allen Bildelementen von f, also Img(f) = {f(x) | x Element D(efinitionsmenge)}. In Deinem Fall besteht das Bild von f aus den Elementen sin(x) mit x aus R und das ist das Intervall [-1;1]. Bitte bei der Aufgabe mit dem T nochmals die Angabe wiedergeben! Gruß Rentnerin |
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B) f : P(M) ---> P(M), f(A) = A_quer = M\A (Komplement von A) C) f : E ---> E, f(P) = P_g (P gespiegelt an g) Bei B) und C) ist jeweils die Hintereinanderschaltung der Abbildung mit sich selbst die Identität: f o f = id. Wenn Du also von einer Menge das Komplement nimmst und anschließend von diesem Komplement wieder das Komplement, dann erhältst Du die Ausgangsmenge. Dasselbe gilt für die Achsenspiegelung. Aus f o f = id folgt, dass f invertierbar ist und mit ihrer Inversen übereinstimmt. Jede invertierbare Abbildung ist bijektiv und somit injektiv und surjektiv. Aus der Surjektivität folgt, dass die Bilder P(M) bzw. E sind. Gruß Rentnerin |
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