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Urbildmenge einer linear abhängigen Matrix

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Determinanten

Lineare Abbildungen

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, urbildmenge

benaddict aktiv_icon

23:04 Uhr, 03.05.2017

Hallo.
Ich hänge gerade wieder bei einer Aufgabe, zu der ich keinen gescheiten Ansatz finde:

Aufgabe:
- Bestimmen Sie zu folgender, einer linearen Abbildung beschreibenden Matrix, die Urbildmengen.
- Ermitteln Sie

f_{1} (= d i m

k e r (A_{1}))

sowie dim Bild

f_{1} (= d i m

B i l d (A_{1}))

A = (\begin{array}{rcl} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{array})

(f_{1})^{- 1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

(f_{1})^{- 1} = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

Mein Problem an der Aufgabe:
Die erste und die dritte Zeile sind linear abhängig und die

D e t (A) = 0

, das LGS aus

A x = b

führt zu keiner sinnhaften Lösung (0=1) und auch der Ansatz

x = \frac{b}{A} = b A^{- 1}

ist nicht möglich, da eine Matrix mit Determinante gleich Null (habe ich mit der Sarrus-Regel ausgerechnet) ja nicht invertierbar ist.

Weiß jemand von euch wie man diese Aufgabe lösen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

01:26 Uhr, 04.05.2017

Hallo
ich verstehe nicht was

f_{1}

und

A_{1}

sein soll, mit

f_{1}

=Zahl aber einmal dim Kern, einmal dim Bild?
die Urbildmenge ist doch wohl einfach

ℝ^{3}

hast du die ganze Aufgabe wörtlich aufgeschrieben?
Gruß ledum

benaddict aktiv_icon

01:47 Uhr, 04.05.2017

Hi, sry nein diesmal hatte ich sie in meinen eigenen Worten wiedergeben, ich habe gerade mal ein Foto davon gemacht und füge es diesem Kommentar bei.
Es handelt sich bei meiner Frage um den b) Teil der Aufgabe.

Für die a) habe ich als Ergebnis, dass die Matrix für alle

t \in ℝ

injektiv ist, da die Spalten linear unabhängig sind und die Zeilen für alle t, außer t=1, linear unabhängig und somit surjektiv sind.
Also gilt Bijektivität für alle t außer t=1.

tmp_2013-Screenshot_2017-05-04-01-36-21-1646111832

pwmeyer aktiv_icon

09:36 Uhr, 04.05.2017

Hallo,

Du musst für die Aufgabe mit den Urbildern das lineare Gleichungssystem

A \cdot x = (1,1,2)

bzw.

A \cdot x = (1,1,1)

Auch wenn Det(A)=0 ist, können diese Gleichungssysteme Lösungen haben (wahrscheinlich hat eines Lösungen, das andere nicht). Dazu musst Du das Gaußsche Auflösungsverfahren anwenden.

Für den Kern musst Du das Gleichungssystem

A \cdot x = 0

lösen.

Gruß pwm

benaddict aktiv_icon

19:16 Uhr, 04.05.2017

Ok ich verstehe, dann war der Ansatz mit dem LGS also doch nicht falsch, sondern ich habe das Ergebnis falsch interpretiert :(
Es hapert wohl noch an den absoluten Basics...

Nunja, weil die Frage schon online ist, poste ich mal mein Ergebnis:

Für das LGS

A x = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array})

bekomme ich als Ergebnis für die dritte Zeile, nachdem ich die zweite Zeile mal 2 nehme und von der ersten abziehe und anschließend die erste Zeile auf die dritte addiere:

0 = 1

, was bedeutet dass das LGS zu keiner Lösung führt und die Urbildmenge eine leere Menge ist.

Für das LGS

A x = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})

bekomme ich als Ergebnis für die dritte Zeile, mit den gleichem Rechenweg wie oben, das Ergebnis:

0 = 0

,
was eine wahre Aussage ist und bedeutet dass ich einen Parameter einsetzen kann:
Für

x_{3} = r

bekomme ich die zwei weiteren Lösungen:

x_{2} = \frac{1}{4} - \frac{r}{4}

und

x_{1} = \frac{1}{4} - \frac{r}{4}

, weshalb die gesuchte Menge:

l = {(\begin{array}{rcl} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ 0 \end{array}) + r (\begin{array}{rcl} \frac{- 1}{4} \\ \frac{- 1}{4} \\ 1 \end{array}) ∣ r \in ℝ}

ist.

Der

k e r (A_{1})

ist nach meiner Rechnung die Menge:

l = {r (\begin{array}{rcl} \frac{- 1}{4} \\ \frac{- 1}{4} \\ 1 \end{array}) ∣ r \in ℝ}

1368876

1368711

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