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Urne 7 Kugeln

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Sonstiges

Tags: Wahrscheinlichkeit

Bjoern14 aktiv_icon

20:31 Uhr, 13.07.2018

In einer Urne befinden sich 7 Kugeln, von denen 5 rot sind und 2 weiß sind. Wir ziehen nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen heraus.

a)

Gib einen Ergebnisraum

Ω

an.

b)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel weiß ist.

c)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die erste gezogene Kugel weiß ist, wenn bekannt ist, dass mindestens zwei der gezogenen Kugeln rot sind.

d)

Angenommen, wir ziehen alle Kugeln nacheinander aus der Urne und legen sie in einer Reihe auf den Tisch. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle roten Kugeln nebeneinander liegen.

zu

a) Ω = {ω_{=} {ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}}; ω \in {1, ...,7}

b)

P("mind. 2 rote"| erste weiß)=

\frac{2 r \cap 1 w}{P (1 w}}

Baumdiagramm erstellt mein Ergebnis ist

\frac{2}{3}

?

zu

c) P (

"1w|min 2 rote)=

\frac{1 w \cap min 2 r}{P (min 2 r}}

= \frac{2}{7}

?

und bei

d)

habe ich

0,12

als Wahrscheinlichkeit raus.

Ich habe bestimmt einige Fehler. Wäre echt nett, wenn man mir helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:51 Uhr, 13.07.2018

a)

Deine Schreibweise ist eigenartig.
Auf jeden Fall besteht der Ereignisraum aus geordneten Tripeln und nicht aus dreielementigen Mengen.
Du kannst ihn entweder aus den 7 möglichen Tripeln wie zB

(R; W; R)

bestehen lassen (die könntest du durch Aufzählen angeben), von denen aber nicht alle die gleiche WKT haben oder aber du nummerierst die Kugeln durch und dein Ereignisraum besteht dann aus allen

35

möglichen Tripeln gleicher Wahrscheinlichkeit. Da würde ich aber, um auch die Farben ins Spiel zu bringen, so etwas wie

ω_{i} \in {R_{1}, ... R_{5}, W_{1}, W 2}

schreiben. Wen du die zweite Variante wählst ist aber unbedingt nötig, dass du mehrfaches Auftreten einer Kugel verbietest. etwa durch

ω_{i} = ω_{j} \Rightarrow i = j

.

ad

b)

Ja,

\frac{2}{3}

sind richtig

ad

c)

Ich komme nicht auf deine

\frac{2}{7},

wie hast du genau gerechnet/überlegt?

ad

d)

Auch hier erhalte ich ein anderes Ergebnis.

Bjoern14 aktiv_icon

12:08 Uhr, 14.07.2018

Danke,

hatte mein Fehler gesehen.
Ich hoffe, ich komme jetzt auf die richtigen Lösungen.

c) \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{16}{21}} = \frac{1}{4}

d)

P(RRRRRWW)

= P (W R R R R R W) =

P(WWRRRRR)=

\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{2} \frac{1}{1} = \frac{2}{42} = \frac{1}{21} \cdot 3 = \frac{1}{7}

wäre das jetzt richtig?

Roman-22

13:44 Uhr, 14.07.2018

Dass du

\frac{2}{42} = \frac{1}{21} \cdot 3

schreibst ist schlicht falsch, ansonsten ist

\frac{1}{7}

bei

d)

das korrekte Ergebnis.
Wenn du die Kugeln alle unterscheidbar betrachtest, kommst du mit Permutationen (ohne Whg) auch zum Ziel:

3!

Anzahl der Möglichkeiten, die 2 weißen Kugeln und die 5er-Gruppe rot anzuordnen

5!

Anzahl der Möglichkeiten, die 5 roten Kugeln in ihrer Gruppe anzuordnen

7!

Gesamtanzahl der Möglichkeiten, die 7 Kugeln anzuordnen

\Rightarrow P (d)) = \frac{3! \cdot 5!}{7!} = \frac{1}{7}

Aber auch bei Betrachtung mit nicht unterscheidbaren gleichfarbigen Kugeln kommst du mit Permutationen (mit Wiederholung) zum Ziel:
Anzahl der Permutationen der beiden weißen Kugeln und der 5-er Gruppe Rot:

\frac{3!}{2!} = 3

Gesamtanzahl der Anordnungen der 7 Kugeln:

\frac{7!}{2! \cdot 5!} = 21

\Rightarrow P (d)) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}

Bei

c)

sind wir noch immer nicht einer Meinung. Ich komme auf

P = \frac{2}{9}

Bjoern14 aktiv_icon

21:54 Uhr, 14.07.2018

A =

mind. 2 Kugeln rot

= {(R R R), (R R W), (R W R), (W R R)}

B = 1

. Kugel weiß

= {(W R R), (W R W), (W W R), (W W W)} = {(W R R)} \cap {(W R W)} \cap {(W W R)} \cap {(W W W)}

\frac{P (A \cap B)}{P (A)}

P (A) = \frac{2}{7} + 3 \cdot \frac{4}{21} = \frac{6}{7}

\frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{\frac{4}{21}}{\frac{6}{7}} = \frac{2}{9}

Mein Fehler war:

P (A) = \frac{2}{7} + 3 \cdot \frac{4}{21} = \frac{6}{7}

hatte aus irgendeinem Grund nicht

\frac{6}{7}

sodern

\frac{16}{21}

.

Müsste jetzt so stimmen oder?

Ich hatte noch eine Kovariantaufgabe reingestellt. Könnte man mir dort vllt auch weiterhelfen.

Ich verstehe die Aufgabe an sich nicht.

Bjoern14 aktiv_icon

23:04 Uhr, 14.07.2018

Mir fällt noch was ein..

Was ist eigentlich mein

| Ω |

? Falls man einen Wahrscheinlichkeitsvektor

p

angeben muss.

\frac{1}{| Ω |} .

.

Wenn ich

{Ω = (a, b, c) : a, b, c \in {1,2, ...,7} a \neq b \neq c}

dann habe ich

210

Möglichkeiten?

Also

\frac{1}{210}

für den Wahrscheinlichkeitsvektor?

Roman-22

23:53 Uhr, 14.07.2018

>

Was ist eigentlich mein |Ω|?
Das kommt darauf, wie du modellierst. Wenn du nur zwischen Rot und Weiß unterscheidest, dann ist

| Ω | = 7

Diese 7 Ereignisse sind aber nicht gleichwahrscheinlich und du müsstest für jedes dieser 7 Ereignisse die WKT explizit angeben.

Modellierst du aber so, dass die Kugeln unterscheidbar (zB nummeriert von 1 bis

7, 1

und 2 sind zB die weißen) sind, dann gibts

219

mögliche Ereignisse, also

| Ω | = 210

und da jetzt alle gleichwahrscheinlich sind, besteht dein WKTvektor aus lauter Einträgen mit

\frac{1}{210}

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