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Urnenmodell mit 3 Farben

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Zimtstar aktiv_icon

22:20 Uhr, 15.07.2012

Hallo zusammen,

nachdem ich einfach nicht weiter komme in dieser Aufgabe möchte ich sie euch mitteilen und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen bzw. die Lösung schreiben. Ich finde einfach keine Lösung.

Aufgabe: In einer Urne befinden sich

10

rote, 7 schwarze und 3 weiße Kugeln. Sie dürfen folgende Werte benützen, ohne sie selbst berechnen zu müssen:

(\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) = 924; (\begin{matrix} 13 \\ 6 \end{matrix}) = 1716; (\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix}) = 125970

a)

Es werden MIT ZURÜCKLEGEN

12

Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den gezogenen Kugeln

i)

genau 6 schwarz sind?

i i)

weniger als 3 schwarz oder weiß sind?

b)

Nun werden die

12

Kugeln OHNE ZURÜCKLEGEN gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den gezogenen Kugeln

i)

genau 6 schwarz sind?

i i)

weniger als 3 schwarz oder weiß sind?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Ma-Ma aktiv_icon

22:43 Uhr, 15.07.2012

Hallo zimtstar,

beim Ziehen OHNE ZURÜCKLEGEN (wie beim Lotto) gibt es einen ganz einfachen Trick.

Allgemein:

- - - - - - - - -

Die

10

roten Kugeln in den Karton links legen, die 7 schwarzen in den den mittleren Karton legen, die 3 weißen in den rechten Karton legen.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Da wir zu Frage

b)

nur schwarz und NICHTSCHWARZ betrachten, können wir vereinfachen.
Die 7 schwarzen in den Karton links , die nichtschwarzen

(13

Kugeln) in den Karton rechts.

Wir wollen 6 schwarze. Also wir Ziehen aus dem linken Karton 6 schwarze

(7

über

6)

.
Desweiteren wir ziehen aus dem rechten Karton 6 Kugeln , also

(13

über

6)

.
Damit haben wir die Anzahl günstiger (gewünschter) Möglichkeiten).

Die Gesamtzahl aller Möglichkeiten sind

(20

über

12),

also aus

20

Kugeln

12

Kugeln ziehen(die Reihenfolge =Anordnung ist egal).

P =

Anzahl(günstig) / Anzahl (gesamt)

LG Ma-Ma

PS: Formeleditor funktioniert bei mir leider nicht.

Zimtstar aktiv_icon

10:25 Uhr, 16.07.2012

Hallo ma ma,

also bei den zwei Aufgaben von

a)

komme ich trotzdem nicht weiter mit deinem Tipp die in 3 Kartons aufzuteilen.

Aber bei

b) i)

hab ich das jetzt folgendermaßen verstanden:

P (6

schwarze)

= (\begin{matrix} 7 \\ 6 \end{matrix}) \cdot \frac{\begin{matrix} 13 \\ 6 \end{matrix}}{\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix}} = 0,0043

WIE funktioniert also dann überhaupt jeweils die

i i)

Ma-Ma aktiv_icon

11:53 Uhr, 16.07.2012

b)

ii)

\to

weniger als 3 schwarz/weiße Kugeln,

d . h

. weniger als 3 NICHTROTE Kugeln
oder anders gesagt:

0, 1

oder 2 NICHTROTE Kugeln

Bis dahin klar ?

Nimm wieder 2 Kartons.
In den linken die

10

roten Kugeln.
In den rechten die

10

nichtroten Kugeln.

P =

Anzahl(günstig) / Anzahl(gesamt)

OBERHALB des Bruchstriches (Zähler) wieder die günstigen Möglichkeiten:

1) 0

nichtrote Kugeln

\to

geht nicht, da

12

Kugeln gezogen werden müssen

2) 1

nichtrote Kugel

\to

geht ebenfals nicht, da

12

Kugeln gezogen werden müssen

3) 2

nichtrote Kugeln:

\to

Nimm aus dem RECHTEN Karton (nichtrote) 2 Kugeln und aus LINKEN Karton (rote)

10

Kugeln

Die Binomialkoeffizienten stelle jetzt selbst auf. Denke daran,

(n

über

k),

dabei ist

n

die Anzahl der Kugeln im Karton und

k

sind die gezogenen Kugeln aus diesem Karton.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Falls Du Dir unsicher bist, schaue in Deine Formelsammlung unter HYPERGEOMETRISCHER VERTEILUNG. Dort gibt es eine einfache Formel, wie man solch ein Beispiel löst.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

LG Ma-Ma

Nachtrag:
Zu

a)

würde ich Bernoulli in Erwägung ziehen, da für jedes Ziehen einer schwarzen Kugel immer die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht.

Zimtstar aktiv_icon

13:42 Uhr, 16.07.2012

also zur

a) - i)

Ich habe eine Wahrscheinlichkeit für
ROT

\frac{10}{20}

SCHWARZ

\frac{7}{20}

WEISS

\frac{3}{20}

Das heißt wenn ich mit Bernoulli das ganze mache würde ich folgendes schreiben:

P (6

schwarze)

= (\frac{10}{20} \cdot \frac{7}{20} \cdot \frac{3}{20}) \cdot 12

Also die Wahrscheinlichkeiten der Kugeln ist ja bei jedem Zug gleich, da wir zurücklegen, und ich ziehe ja

12

mal.

zu

b) - i i)

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe ist es

P = \frac{(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 9 \end{matrix})} = 0,000357

Ich habe oben die zwei Kartons, links den mit den Roten aus dem ich 2 Kugeln entnehme, rechts den Karton mit den nichtroten aus dem ich

10

entnehme

Ma-Ma aktiv_icon

13:56 Uhr, 16.07.2012

Bin eigentlich schon weg und erst heute abend wieder hier

. .

.

Ganz kurz zu

a)

Schau Dir die Bernoulli-Gleichung (Bernoullikette) in der Formelsammlung an und setze

n, k

und

p

ein.
bei

a) i)

Du musst wieder schwarz und nichtschwarz unterscheiden.

b)ii) Die 9 im Nenner ist wohl ein Tippfehler ? Der Zähler ist richtig !

Bis heute abend .

Zimtstar aktiv_icon

14:34 Uhr, 16.07.2012

Kein Problem, hauptsache ich hab irgendwann den richtigen Weg :-)

zur

b) - i i)

ja da hab ich einen Tippfehler gemacht ;-)

zur

a) - i)

Wahrscheinlichkeit das eine schwarze Kugel gezogen wird:

p = \frac{7}{20}

Anzahl der Züge:

n = 12

Anzahl der erwarteten schwarzen Kugeln

= k = 6

P (k = 6) = (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{7}{20})}^{6} \cdot {(1 - \frac{7}{20})}^{12 - 6} = 0,128

zur

a) -

ii )

Hier habe ich jetzt folgende Gedanken gemacht:

Die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, das eine Kugel schwarz ist und zwei Kugeln , oder eine Kugel weiß und zwei Kugeln schwarz.
Diese addieren, also

P (1

mal schwarz)

+ P (2

mal weiß)

\cdot P (1

mal weiß)

+ P (2

mal schwarz)

- \to

Ich bin total eingewirrt

: (

DANKE für deine HILFE

Ma-Ma aktiv_icon

17:40 Uhr, 16.07.2012

1)

Aufgabe

a - i)

Die Bernoulliformel für

P (X = k) \Rightarrow P (X = 6

Treffer) ist richtig. (Endergebnis habe nicht nachgerechnet, aber Du kannst sicher virtous mit dem TR umgehen.)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

2)

Aufgabe a-ii) Hier gilt auch Bernoulli, da die Ziehungswahrscheinlichkeiten immer gleich bleiben, es wird durch Zurücklegen ja immer wieder der Ausgangszustand hergestellt.

\to

Bitte gut merken, unter welchen Voraussetzungen Bernoulli angewendet wird.

Der Ansatz ist wie bei b-ii).

→ weniger als 3 schwarz/weiße Kugeln,

d . h

. weniger als 3 NICHTROTE Kugeln
oder anders gesagt:

0,1

oder 2 NICHTROTE Kugeln

Bis dahin klar ?

Nimm wieder 2 Kartons.
In den linken die

10

roten Kugeln.
In den rechten die

10

nichtroten Kugeln.

Jetzt die Bernoullivariablen

n, k

und

p

bestimmen.

n =

Anzahl der Ziehungen

k =

Anzahl der Treffer ( hier

0, 1, 2)

p =

Wahrscheinlichkeit, dass eine NICHTROTE (schwarz/weiß) Kugel gezogen wird.

Zusätzlich musst Du beachten, dass es hier 3 Wahrscheinlichkeiten möglich sind:

P (0

oder 1 oder

2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

Jetzt schreibe einfach mal alle 3 Einzelgleichungen auf .. ist wirklich einfach.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

3)

Nochmal zu Aufgabe b-ii). Hier hast Du die Kartons vertauscht, es sollen doch 2 NICHTROTE gezogen werden. Also 2 nichtrote und

10

rote ziehen

. .

. Die Formel bleibt aber genauso, nur Dein erklärender Hinweis ist genau andersherum

\to

Schusselfehler.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4)

Letztendlich noch ein Hinweis zu meinen ersten Zeilen:

Allgemein:

- - - - - - - - -

Die

10

roten Kugeln in den Karton links legen, die 7 schwarzen in den den mittleren Karton legen, die 3 weißen in den rechten Karton legen.

Das ist immer hilfreich, wenn es

z . B

. heisst, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
4 rote, 6 schwarze und 2 weiße Kugeln zu ziehen. (Ziehen ohne Zurücklegen

\to

Lottomodell)

Diese Aufgabe können wir ja ganz zum Schluss rechnen *schmunzel*

LG Ma-Ma

Zimtstar aktiv_icon

20:04 Uhr, 16.07.2012

Zusammenfassend nochmal alle richtigen Lösungen:

a) i)

P (k = 6) = (\begin{matrix} 12 \\ 6 \end{matrix}) \cdot {(\frac{7}{20})}^{6} \cdot {(1 - \frac{7}{20})}^{12 - 6}

a) i i)

P (k = 0) = (\begin{matrix} 12 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {(\frac{10}{20})}^{0} \cdot {(1 - \frac{10}{20})}^{12 - 0}

P (k = 1) = (\begin{matrix} 12 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{10}{20})}^{1} \cdot {(1 - \frac{10}{20})}^{12 - 1}

P (k = 2) = (\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{10}{20})}^{2} \cdot {(1 - \frac{10}{20})}^{12 - 2}

P = P (k = 0) + P (k = 1) + P (k = 2)

b) i)

P (k = 6) = \frac{(\begin{matrix} 7 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 6 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix})}

b) i i)

P = \frac{(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 10 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix})}

Ma-Ma aktiv_icon

20:15 Uhr, 16.07.2012

Prima ! Passt alles !

- - - - - - - - - - - - -

Zum Abschluss noch die kleine Zusatzaufgabe ?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,4 rote, 6 schwarze und 2 weiße Kugeln zu ziehen. (Ziehen ohne Zurücklegen → Lottomodell)

LG Ma-Ma

Zimtstar aktiv_icon

20:29 Uhr, 16.07.2012

\frac{(\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 20 \\ 12 \end{matrix})}

:-) oder

: (

Ma-Ma aktiv_icon

20:36 Uhr, 16.07.2012

Nix mit ODER , das ist vollkommen richtig !

Ich hab Dich zwar mit den vielen Kartons etwas genervt ( diese Aufgaben sind übrigens Schulstoff 12.Klasse), aber Du hast tapfer durchgehalten *schmunzel*

Ich hoffe, Du hast auch die Vereinfachungen mit den "roten und nichtroten" verstanden.
(Ja es geht auch komplizierter, aber eine einfache Lösung ist eleganter, schneller und sicherer.)

LG Ma-Ma

Zimtstar aktiv_icon

20:39 Uhr, 16.07.2012

Juhuuu, vielen vielen Dank, auch für die Tipps mit den Kartons ;-)

Ich hatte vorher nie Stochastik oder irgendwas mit Statistik zu tun, von daher tu ich mir da noch ein bisschen schwer bei manchen Aufgaben.

Ein großes Lob an dich, das du tapfer mit mir das bis zum Schluss durchgezogen hast ;-)

Ma-Ma aktiv_icon

20:45 Uhr, 16.07.2012

Die Freude ist ganz meinerseits !

- - - - - - - - - - - -

Hier nochmal eine ältere Aufgabe von Dir:

Für die Wahlliste der Studenten bei den Hochschulwahlen werden aus einer Gruppe von 6 Männern und 4 Frauen durch Losentscheid 5 Kandidaten zufällig ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Männer und 2 Frauen auf die Liste kommen?

Stecke die Männer und Frauen jetzt nicht in Kartons (sind vielleicht zu eng), sondern in Boxen. (Lösung wieder wie Lottomodell bzw. Kartons.)

Damit kannst Du gleich prüfen, ob Du wieder auf die damals angegebene Lösung kommst.
Ich bin überzeugt, das kannst Du jetzt ! zur Kontrolle kannst Du ja diese alte Aufgabe nachschlagen.

LG Ma-Ma

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