Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » V.I. bei einer Ungleichung mit Summenzeichen

V.I. bei einer Ungleichung mit Summenzeichen

Universität / Fachhochschule

Tags: Summenformel, Summenzeichen, Ungleichung, Vollständig Induktion, Vollständige Induktion Ungleichung

kingston aktiv_icon

11:46 Uhr, 04.11.2015

Hallo,
sitze schon eine gefühlte Ewigkeit an einer Aufgabe für meine Analysis Übung und ich bin wie erwartet auf einige Probleme und Fragen gestoßen. Für Tipps oder Antworten wäre ich sehr dankbar.

Hier ist die Aufgabe:
Zeige:

\forall n \in ℕ : \sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} \frac{1}{k} \leq n

Ich habe es mit der vollständigen Induktion probiert, der Induktionsanfang hat mir keine Probleme bereitet und als Induktionsvorraussetzung habe ich die obige Ungleichung gewählt.

Induktionsschritt:
zu zeigen:

n + 1 \to \sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} \leq n + 1

Ich habe die Summe aufgeteilt, sodass meine I.V. in der Ungleichung vorkommt:

\sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} \frac{1}{k} + \sum_{2^{n}}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} \leq n + 1

Meine Frage ist nun: Da ich angenommen habe dass meine I.V. gilt, kann ich diese einfach aus der Ungleichung entfernen, sodass ich nur noch ( zweite Summe

\leq 1)

betrachte oder ist dies nicht möglich. In der Schule sind wir immer einen großen Umweg um Ungleichungen gegangen und eine derartige Regel konnte ich im Internet nicht finden (nur wenn ( erste Summe

= n)

wäre und nicht

\leq 1

.

Wenn dies der Fall ist, dann habe ich immer noch eine unhandliche Summe die ich nicht aufzulösen weiß. Über einen Tipp wäre ich dankbar
Wenn dies nicht der Fall ist, wäre ich ebenfalls über einen Tipp dankbar, was ich anders zu machen habe.

Vielen Dank im Voraus,
kingston

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

12:10 Uhr, 04.11.2015

Hallo,

das löst man so:

Für eine Summe aus

n

Summanden

\frac{1}{a_{n}}

gilt:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{n}} \leq \frac{n}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})}

Beweis: Für alle

k \in {1, 2, ..., n}

gilt:

a_{k} \geq min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})

\frac{1}{a_{k}} \leq \frac{1}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{n}} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})}

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{n}} \leq \frac{1}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})} \cdot \sum_{k = 1}^{n} 1

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{n}} \leq \frac{1}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})} \cdot n

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{n}} \leq \frac{n}{min (a_{k} | k \in {1,2, ..., n})}

Nun zum eigentlichen Induktionsbeweis:

\sum_{k = 1}^{2^{n + 1} - 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2^{n} - 1} \frac{1}{k} + \sum_{k = 2^{n}}^{2 \cdot 2^{n} - 1} \frac{1}{k}

\leq_{I V} n + \sum_{k = 2^{n}}^{2 \cdot 2^{n} - 1} \frac{1}{k}

= n + \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n} + (2^{n} - 1)} \frac{1}{k};

wegen oben gilt:

\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n} + (2^{n} - 1)} \frac{1}{k} \leq \frac{2^{n}}{2^{n}} = 1

\leq n + 1

kingston aktiv_icon

12:48 Uhr, 04.11.2015

Vielen Dank für deine Antwort!!

Alles war für mich verständlich bis zu der 2. Zeile nachdem Sie geschrieben haben "Nun zum eigentlich Induktionsbeweis:"

(also

: \leq

n + \sum_{k = 2^{n}}^{2 \cdot 2^{n} - 1} \frac{1}{k}

Wenn ich das richtig verstehe dann haben Sie diese Summe durch die 1 ausgetauscht und das mit der I.V. begründet.
Haben sie eine andere I.V. gewählt oder wie kommen Sie auf diesen Schritt?

Nochmals vielen Dank

ledum aktiv_icon

16:20 Uhr, 04.11.2015

Hallo
Nein ,es wurde die ursprüngliche Formel als IV genommen. (oder hast du das mit der Und. Behauptung verwechselt?
Gruss ledum

kingston aktiv_icon

16:39 Uhr, 04.11.2015

hallo ledum

was ist eine Und. Behauptung??

was ich nicht verstehe ist folgendes:
"

\leq

n + \sum_{k = 2^{n}}^{2^{n} + (2^{n} - 1)} \frac{1}{k}

"
Ursprünglich stand auf der rechten Seite der Ungleichung

. .

\leq n + 1

ich habe das so verstanden dass die 1 ausgetauscht wurde mit

\sum_{k = 2^{n}}^{2^{n} + (2^{n} - 1)} \frac{1}{k}

und das durch die IV begründet wird.
Das verstehe ich nicht.

Lieben Gruß und Dankeschön
kingston

ledum aktiv_icon

00:48 Uhr, 06.11.2015

Hallo zuerst wird für die erste Summe die /nd

V < n

eingesetzt ,danach für die 2 te Summe die

1 = \frac{2^{n}}{2^{n}}

Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1265344

1264788

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?