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Varianz berechnen

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Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

matusema aktiv_icon

19:10 Uhr, 09.02.2015

Abend,

also mein Problem lautet wortwörtlich:

Betrachten Sie zwei unabhängige unverzerrte Schätzer

\bar{ρ_{1}}

und

\bar{ρ_{2}}

für

ρ

. Es gilt Var

(\bar{ρ_{1}}) = 3 \cdot

Var

(\bar{ρ_{2}})

. Bestimmen Sie die Konstanten

α_{1}

und

α_{2}

so, dass

α_{1} \cdot \bar{ρ_{1}} + α_{2} \cdot \bar{ρ_{2}}

zu einem unverzerrten Schätzer mit minimaler Varianz für eine solche Linearkombination führt.

Aus der der ersten Bedingung kann ich ja schließen:

E (α_{1} \cdot \bar{ρ_{1}} + α_{2} \cdot \bar{ρ_{2}}) = 2 \cdot ρ,

also

α_{1} + α_{2} = 1

gelten muss. Bei der zweiten Bedingung bin ich gerade etwas ratlos. Var

(α_{1} \cdot \bar{ρ_{1}} + α_{2} \cdot \bar{ρ_{2}}) = α_{1}^{2} \cdot

var

(\bar{ρ_{1}}) + α_{2}^{2} \cdot

var

(\bar{ρ_{2}})

Das kann ich ja dann noch ausklammern und die Angabe einsetzen, nur weiß ich nicht, womit ich das dann gleich setzen muss, damit ich 2 Gleichung mit 2 Parametern erhalte.

Danke schön.

DrBoogie aktiv_icon

07:20 Uhr, 10.02.2015

Weißt Du nicht, wie man Minimum einer Funktion unter einer Nebenbedingung berechnet?
Die Nebenbedingung ist

α_{1} + α_{2} = 0.5

(und nicht

1

, natürlich), die Funktion selber

(3 α_{1}^{2} + α_{2}^{2}) V a r (ρ_{2})

.
Du kannst in diesem Fall sogar "zu Fuss" schnell zum Ziel kommen:

α_{2} = 0.5 - α_{1}

und einsetzen.

Matlog aktiv_icon

11:09 Uhr, 10.02.2015

Um ehrlich zu sein, verstehe ich weder Dein

E (α_{1} \cdot \bar{p_{1}} + α_{2} \cdot \bar{p_{2}}) = 2 \cdot p

noch DrBoogies

α_{1} + α_{2} = \frac{1}{2}

DrBoogie aktiv_icon

11:25 Uhr, 10.02.2015

Weil es natürlich falsch ist. Richtig ist

ρ

und

α_{1} + α_{2} = 1

.
Ich habe leider nicht nachgedacht, woher

2 ρ

kommen und einfach geglaubt. :-)

matusema aktiv_icon

12:02 Uhr, 10.02.2015

Ich denke mal schon. Eine Möglichkeit wäre eine Lagrange-Funktion aufzustellen. (siehe unten)
Es muss natürlich statt

2 \cdot ρ

nur

ρ

heißen, sorry :-) Dass

α_{1} + α_{2} = 1

gelten muss, stimmt aber schon? War jetzt nicht ganz eindeutig.

Wenn ich es mal mit Lagrange lösen möchte (glaub ist zwar bissel aufwendiger als notwendig aber na gut) Dann lautet meine L-Funktion:

L = (3 \cdot α_{1}^{2} + α_{2}^{2}) \cdot

Var

(\bar{ρ_{2}}) + λ (1 - α_{1} - α_{2})

falls gleich 1 gelten soll.

\frac{δ L}{δ α_{1}} = 6 \cdot α_{1} \cdot

Var

(\bar{ρ_{2}}) - λ = 0

\frac{δ L}{δ α_{2}} = 2 \cdot α_{2} \cdot

Var

(\bar{ρ_{2}}) - λ = 0

\Rightarrow 6 \cdot α_{1} = 2 \cdot α_{2} \Leftrightarrow α_{2} = 3 \cdot α_{1}

Jetzt noch

α_{2} = 1 - α_{1}

einsetzen und auflösen?

DrBoogie aktiv_icon

12:09 Uhr, 10.02.2015

Ja, es kommt

α_{1} = 0.25

raus.
Was übrigens schneller ohne Lagrange gehen würde:

α_{2} = 1 - α_{1}

3 α_{1}^{2} + α_{2}^{2} = 3 α_{1} + (1 - α_{1})^{2} = 4 α_{1}^{2} - 2 α_{1} + 1 = (2 α_{1} - 0.5)^{2} + 0.75

und klar, dass Minimum bei

2 α_{1} - 0.5 = 0

liegt.

matusema aktiv_icon

20:13 Uhr, 10.02.2015

Perfekt. Danke schön :-)

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