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Varianz des arithmetischen Mittels als Zufallsvar.

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Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion, Zufallsvariablen

limes21 aktiv_icon

12:09 Uhr, 20.02.2021

Hallo,

gegeben eine Reihe von

i . i . d

. Zufallsvariablen.

\bar{X}

=arithmetisches Mittel der Reihe als Zufallsvariable.

σ^{2} (\bar{X}) = \frac{σ^{2}}{n} \to

kann mir jemand sagen, wie man auf diese Formel kommt, ohne den Weg über die Lineartransformation zu gehen?

Es mag trivial sein, aber vielleicht lässt sich ja jemand dazu herab mir hierbei zur Hand zu gehen;-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

12:21 Uhr, 20.02.2021

Es gilt allgemein für eine Summe von i.i.d. Variablen

Y_{i}

σ^{2} (\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} (Y_{i})

.
Falls dich der Beweis dieser Formel interessiert: www.youtube.com/watch?v=pKlRppbgUxo
Und dann hast du

σ^{2} (\overline{X}) = σ^{2} (\frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}}{n}) = \frac{1}{n^{2}} σ^{2} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} (X_{i}) = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} σ^{2} = \frac{1}{n^{2}} n σ^{2} = \frac{σ^{2}}{n}

limes21 aktiv_icon

13:56 Uhr, 20.02.2021

Hi, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Mir war das schon bekannt, dass ist die Lineartransformation der Varianz die ich meinte.
Und das ist ja auch der sinnvollste Weg etc.

Konkret interessiert mich aber hier ein Weg über die herkömmliche Varianzformel für das folgende:

Ich meine

z . B

. wenn man mal das Experiment macht:

Man werfe einen Spielwürfel

10

mal. Dann hat man ja

10

unabhängige, diskret gleichverteilte Zufallsvariablen.
Wenn ich davon das arithmetische Mittel als Zufallsvariable betrachte, gibt es denn dann keinen Weg, der über die bekannte Formel

σ^{2} (\bar{X}) = \sum_{j = 1}^{k} {(a_{j} - E (\bar{X}))}^{2} \cdot P (\bar{X} = a_{j})

\frac{σ^{2}}{n}

führt?

limes21 aktiv_icon

15:20 Uhr, 20.02.2021

Bzw., weil das Beispiel hier vielleicht Defizite aufweist, anders gefragt?

Wie würde man auf

\frac{σ^{2}}{n}

kommen, wenn man die oben genannte Formel nicht kennen würde?

DrBoogie aktiv_icon

16:42 Uhr, 20.02.2021

"Wie würde man auf σ2n kommen, wenn man die oben genannte Formel nicht kennen würde?"

Da die Formel sehr direkt hergeleitet wird, würde man sie automatisch beweisen beim direkten Versuch der Berechnung von

σ^{2} (\overline{X_{n}})

limes21 aktiv_icon

16:50 Uhr, 20.02.2021

Ok, vielen Dank.
Dann noch einmal kurz für mein Verständnis:

Wenn man dann irgendein

\bar{X_{n}}

hätte und einfach wüsste, wie es verteilt ist also bspw. die Dichtefunktion oder die Wahrscheinlichkeitsfunktion kennt, dann würde man bei der Berechnung von

σ^{2} (\bar{X_{n}})

genau wie bei jeder anderen Zufallsvariable auch über die "herkömmliche" Varianzformel gehen und dann eben direkt bei

σ^{2}

landen, habe ich das so richtig verstanden?

Entschuldige bitte die

1000

Rückfragen, danke.

DrBoogie aktiv_icon

17:27 Uhr, 20.02.2021

Ja, man nutzt ja die "gewöhnliche" Formel:

V a r (\overline{X_{n}}) = E ({\overline{X_{n}}}^{2}) - E (\overline{X_{n}})^{2}

. Nur dass man in dem Fall weiter rechnen kann und das Ganze auf

V a r (X_{i})

bzw.

σ

zurückführen.

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