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Varianz einer ZV

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Varianz

freezeling aktiv_icon

14:59 Uhr, 12.01.2025

Die Angabe ist im Anhang. Ich habe leider keine Lösung, deswegen stelle ich euch meinen Lsgvorschlag vor. Ich habe mir zuerst vorgenommen die Varianz von

X_{1}

zu berechen.

E (X_{1}) = 2 \Rightarrow

Var(X_1)=E(X_1-2)^2=EX_1^2-4EX_1+E4

Für EX_1^2 habe ich

3 - a + b

weil nur die EG_i^2 1 ergeben (Erwartungswert von Gammaverteilung

\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

und die restlichen Summanden werden zu 0 wegen

N (0,1)

und stochastischer Unabhänigigkeit.

\Rightarrow

Var(X_1)=3-a+b-8+4.

Was haltet ihr von meiner Lösung?

MfG

Freezeling

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

15:35 Uhr, 12.01.2025

Hallo,

ich hätte einfach die allgemeinen Rechenregeln für die Varianz angewendet und folgendes erhalten:

V a r (X_{1}) = V a r (3 G_{1} - a G_{2} + b G_{3} + 2)

Konstante

2

fällt weg und keine Kovarianz zwischen

G_{1}, G_{2}

und

G_{3}

wg. stochastischer Unabhängigkeit.

= 9 V a r (G_{1}) + a^{2} V a r (G_{2}) + b^{2} V a r (G_{3}) = . . .

Die ensprechende Formel ist

V a r (\sum_{i = 1}^{N} a_{i} X_{i}) = \sum_{i, j = 1}^{N} a_{i} a_{j} C o v (X_{i}, X_{j})

= \sum_{i = 1}^{N} a_{i}^{2} V a r (X_{i}) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq N} a_{i} a_{j} C o v (X_{i}, X_{j})

Gruß
pivot

HAL9000

15:46 Uhr, 12.01.2025

Vektoriell haben wir

X = A \cdot G + d

mit

A = (\begin{array}{rrr} 3 & - a & b \\ b & a & 1 \\ a & b & - 4 \end{array})

und

d = (\begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

.

Für den standardnormalverteilten Vektor

G

bekommen wir dann einen ebenfalls normalverteilten Vektor

X \sim N (d, Σ)

mit Kovarianzmatrix

Σ = A A^{T}

freezeling aktiv_icon

14:34 Uhr, 13.01.2025

Danke für eure Antworten, das hat weitergeholfen. :-)

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