Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Varianz mit dem Verschiebungssatz ermitteln

Varianz mit dem Verschiebungssatz ermitteln

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Stochastik, Varianz, Zufallsvariablen

Klausi123 aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.01.2015

Hallo

ich fing heute an mich für eine Statistik Klausur vorzubereiten und stehe gerade komplett auf dem Schlauch. Ich bin gerade dabei alles noch einmal zu wiederholen, angefangen bei der Berechnung der Varianz, woran ich gerade schon verzweifle...

Ich habe mir ein altes Tutorium angeschaut und zwei Formeln für die Varianz entdeckt (siehe Anhang)

Die erste Formel ist der Verschiebungssatz und die zweite die "ursprüngliche Definition".

Dann gibt es aber ja auch noch die Varianz für eine Zufallsvariable:

E (X^{2}) - {(E (X))}^{2}

Was benutze ich dann nun wann genau?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

11:30 Uhr, 20.01.2015

Hossa :-)

Ohoh, die Formeln aus der Grafik sind falsch. Sie unterscheiden nämlich nicht zwischen Erwartungswert und Mittelwert einer Zufallsvariablen. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen

X

mit den

N

möglichen Werten

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}

ist wie folgt definiert:

μ_{X} = E (X) = \sum_{i = 1}^{N} x_{i} \cdot p (X = x_{i})

Darin ist

p (X = x_{i})

die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable

X

den Wert

x_{i}

annimmt. Wichtig ist, dass der Erwartungswert immer exakt ist.

Oft kennt man aber überhaupt nicht die Anzahl N aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen oder kann die Einzelwahrscheinlichkeiten

p (X = x_{i})

für ihr Eintreten nicht angeben. Dann muss man sich mit einer Stichprobe begnügen. Dazu wählt man

n < N

Elemente der Zufallsvariablen aus, betrachtet sie alle als gleich wahrscheinlich und definiert den Mittelwert der Stichprobe:

\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots + x_{n}}{n}

Der Mittelwert schwankt je nach dem, wie groß

n

ist oder welche Elemente zufällig ausgewählt wurden. Trotzdem ist der Mittelwert eine sehr gute Näherung(!) für den Erwartungswert, jedoch mit einer Ungenauigkeit

Δ x

behaftet. Formal könnte man schreiben:

μ_{X} = \bar{x} \pm Δ x

Die Varianz einer Zufallsvariabeln

X

ist definiert als der Erwartungswert der quadratischen Abweichungen vom Erwartungswert.

V (X) = E ((X - μ_{X})^{2}) = \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ_{X})^{2} \cdot p (X = x_{i})

Zur Berechnung der Varianz müssen also wieder alle

N

möglichen Werte für die Zufallsvariable

X

und ihre Einzelwahrscheinlichkeiten bekannt sein. Bei einer Stichprobe wird der Erwartungswert

μ_{X}

durch den Mittelwert

\bar{x}

angenähert. Die Ungenauigkeit

Δ x

pflanzt sich in die Varianz fort. Daher lautet die Formel für die Varianz einer Stichprobe:

V (X) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

Das

(n - 1)

im Vorfaktor korrigiert dabei den Fehler

Δ x

des Mittelwertes gegenüber dem Erwartungswert. Steht im Nenner nur ein

n

wird der Fehler

Δ x

nicht berücksichtigt und daher die Varianz als zu gering abgeschätzt.

Ok?

DrBoogie aktiv_icon

11:51 Uhr, 20.01.2015

Sorry, Herr Depp, aber die Formeln sind richtig.
Nur dass sie nicht die "echte" Varianz beschreiben, sondern die (unkorrigierte) Stichprobenvarianz, hoffentlich kennst Du den Unterschied.

Obwohl, wenn ich das hier lese:
"Daher lautet die Formel für die Varianz einer Stichprobe:",
habe ich meine Zweifel. Denn die Formel

V (X) = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}

ist zuerst falsch an sich und hat auch mit der "Varianz einer Stichprobe" wenig zu tun.

V (X)

ist die Varianz von

X

(also "echte" Varianz) und

\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{x})^{2}

der erwartungstreuer Schätzer der Varianz (also korrigierte Stichrpobenvarianz).

Nichts für Ungut, aber um zu helfen, muss man sich auskennen, sonst nützt es sehr wenig.

Klausi123 aktiv_icon

15:19 Uhr, 20.01.2015

Ich habe noch mal eine Nacht darüber geschlafen.

Die Varianz einer Zufallsvariable hat doch mit der Varianz einer Stichprobe wenig zu tun, richtig? Möchte ich die Varianz einer Stichprobe ermitteln, hat dies ja (noch) nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.

Ich glaube ich habe das Ganze einfach nur ziemlich durcheinander gebracht.

Die Formel für die Varianz einer Zufallsvariable kommt ja erst zum Einsatz, wenn es um Wahrscheinlichkeiten geht.

DrBoogie aktiv_icon

15:39 Uhr, 20.01.2015

"Die Varianz einer Zufallsvariable hat doch mit der Varianz einer Stichprobe wenig zu tun, richtig?"

Es heißt Stichprobenvarianz. "Varianz einer Stichprobe" ist ein nicht definierter Begriff, denn Stichprobe ist keine Zufallsvariable.
Stichprobenvarianz ist ein Schätzer für die "echte" Varianz - das ist der genaue Zusammenhang.

Klausi123 aktiv_icon

21:38 Uhr, 20.01.2015

Ich Danke Dir Boogie :-)

1212375

1212020

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?