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Varianz und Standardabweichung berechnen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

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13:19 Uhr, 21.03.2016

Hier die Aufgabenstellung:

Der Kader einer Fussballmannschaft besteht aus

25

Spielern. Das Durchschnittsalter liegt bei

27,8

Jahren bei einer Varianz von

12,2

Jahren^2. Bei einem Punktspiel läuft eine Mannschaft mit einem Durchschnittsalter von

26,9

Jahren und einer Standardabweichung von von

4,5

Jahren auf den Platz. Wie hoch ist das durchschnittliche Alter und die Standardabweichung von den

14

Reservespielern?

Das Durchschnittsalter auszurechnen ist ja simpel.

25 \cdot 27,8 = 695

11 \cdot 26,9 = 295,9

695 - 295,9 = 399,1

399,1 : 14 = 28,5

Die Varianz der aufgelaufenen Elf auszurechnen ja auch

({4,5}^{2} = 20,25)

und die Standardabweichung des kompletten Kaders auch (Wurzel aus

12,2 = 3,493)

.

Wie komme ich aber nun auf die Varianz und Standardabweichung der Reservebank?

Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:03 Uhr, 22.03.2016

Es gibt zwei Formeln für Stichprobenvarianz:

\frac{1}{n - 1} ((\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - \frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2})

(korrigierte Stichprobenvarianz)
und

\frac{1}{n} ((\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) - \frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2})

(unkorrigierte Stichprobenvarianz)

Die Berechnung hängt davon ab, welche von beiden gemeint ist.
Z.B. mit der ersten hätten wir:

\frac{1}{24} ((\sum_{i = 1}^{25} x_{i}^{2}) - \frac{1}{25} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}) = 12.2

und

\frac{1}{10} ((\sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}) - \frac{1}{11} {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}) = 20.25

,
wenn genau die ersten

11

die aufgelaufene Mannschaft repräsentieren.
Da

\sum_{i = 1}^{25} x_{i} = 695

und

\sum_{i = 1}^{11} x_{i} = 295.9

schon bekann sind, haben wir also zwei Gleichungen:

\frac{1}{24} ((\sum_{i = 1}^{25} x_{i}^{2}) - \frac{1}{25} 69 5^{2}) = 12.2

und

\frac{1}{10} ((\sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}) - \frac{1}{11} 295 . 9^{2}) = 20.25

.
Daraus kann man

\sum_{i = 1}^{25} x_{i}^{2}

und

\sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}

berechnen und dann

\sum_{i = 12}^{25} x_{i}^{2} = \sum_{i = 1}^{25} x_{i}^{2} - \sum_{i = 1}^{11} x_{i}^{2}

.
Die Varianz der verbliebenen Mannschaft wird dann

\frac{1}{13} ((\sum_{i = 12}^{25} x_{i}^{2}) - \frac{1}{14} {(\sum_{i = 14}^{25} x_{i})}^{2}) = \frac{1}{13} ((\sum_{i = 12}^{25} x_{i}^{2}) - \frac{1}{14} 399 . 1^{2})

sein.

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