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Vektor anhand von Steigunswinkel & Richtungswinkel

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

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15:50 Uhr, 26.08.2018

Hallo liebes Forum,

ich stehe vor einem Problem an dem ich schon einige Tage sitze und die Lösung einfach nicht in meinen Kopf bekomme. Es handelt sich um folgendes:

Ich habe ein dreidimensionales Koordinatensystem, in dem ich die xyz-Koordinaten eines Punktes weiß. Von diesem Punkt will ich nun einen Vektor zeichnen, der an einem Punkt ankommt, von dem ich nur die

Y -

Koordinate kenne. Geben ist außerdem der Steigunswinkel des Vektors und der Richtungswinkel (Azimut). Ich muss eine Funktion finden, die mir sagt, welche Koordinaten dieser Punkt hat, den der Vektor bei der gegeben Höhe

Y

schneidet.

Ich habe bisher probiert, das Problem mit den Winkelfunktionen in einem rechtwinkligen Dreieck zu lösen, nur fehlt mir irgendwie die Vorstellungskraft, es auf den dreidimensionalen Raum anzuwenden.
Ich kann also theoretisch die Länge des Vektors ausrechnen der mit einer Steigung von bspw. 30° von der einen

Y

Koordinate zur anderen läuft. Ich weiß nur nicht wie ich den Richtungswinkel anhand der

x

und

z

Koordinate mit einbringe...

€: Bin jetzt soweit:

Y 1, X 1, Z 1 =

Startwerte

Y 2 =

Höhenwert im Endpunkt

a =

Steigungswinkel

b =

Richtungswinkel (abh. von Nord)
Länge von vektor

Y 2 Y 1 : \frac{cos (a)}{(Y 2) - (Y 1)}

Länge des vektors in xz Richtung:

\frac{\frac{cos (a)}{(Y 2) - (Y 1)}}{cos (a)} = V

Ermittlung

X 2 : X 1 + \frac{V}{cos (b)}

Ermittlung

Z 2 : Z 1 + \frac{V}{cos (90 - b)}

Hab ich damit schon die Lösung der neuen Koordinaten oder ist da ein fehler drin?
Ich gehe in dem Beispiel davon aus, dass die

Z -

Achse nach hinten herausläuft (positive Werte annimmt)

Das Ganze soll übrigens in Java durchgeführt werden, um die Anzahl der Schnittpunkte von Strahlen mit verschiedenen Richtungs und Steigungswinkeln mit Objekten im 3 Dimensionalen Raum zu finden.

Ich wäre super dankbar wenn ich mir jemand helfen könnte.

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:36 Uhr, 26.08.2018

Hallo
was ist der Steigungswinkel eines Vektors? Gegen was wird der gemessen? ebenso der Richtungswinkel, was ist "Nord) in einem

3 d

Koordinatensystem.
auch deine anderen Angaben wie "Länge von Vektor Y2Y1" was soll der Vektor sein? oder warum ist seine Länge nicht

Y 2 - Y 1

. Also erläutere mindestens die 2 Steigungen.
Gruß ledum

maxsymca

22:50 Uhr, 26.08.2018

Ja, da muss man ein paaar Annahmen treffen. Kannst Du ja anpassen.
Azimut sehe ich als Winkel gemessen in Richtung der x-Achse und Steigung gemessen in RIchtung der z-Achse. Siehe Bild - die Winkel

α

und

β . .

.
Daraus mache ich Geraden mit Startpunkt

A, g (t)

mit Winkel

α

und

h (t)

mit Winkel

β

g (t)

wird in z-Richtung und

h (t)

wird in y-Richtung ausgewaltzt zu je einer Ebene Eg und Eh. Eg und Eh geben mit der y-Koordniate ein GLS das zu lösen ist. Etwas so:
Trifft es das in etwa?

Roman-22

23:55 Uhr, 26.08.2018

Du musst definitiv erst mal klären, wie dein Koordinatensystem mit den Richtungen und Winkeln, die du einführst, zusammenhängt.

Üblicherweise verwendet man ein Rechtssystem, bei dem die x-Achse nach vorne, die y-Achse nach rechts und die z-Achse nach oben weist.

Du nennst aber die y-Koordinate die Höhe!?
Man verwendet auch desöfteren Koordinatensysteme, bei denen die x-Achse nach rechts, die y-Achse nach oben und die z-Achse nach vorne weist (auch ein Rechtssystem). Sozusagen ein "normales" x-y-System am Bildschirm und die z-Achse ragt aus dem Bildschirm raus.

Manchmal wird auch ein KS verwendet, bei dem die x-Achse nach rechts, die y-Achse nach unten (also Bildschirmkoordinaten angebend) und die z-Achse nach vorne oder nach hinten (Links- bzw. Rechtssystem) zeigt.

Und da du die Begriffe Azimut und "Steigungswinkel" (Elevation?) verwendest

-

in der Astronomie verwendet man gern ein KS, bei dem die x-Achse nach Süden, die y-Achse nach Westen und die z-Achse Richtung Zenit zeigt. Der Azimut wird dann in der xy-Ebene von der x-Achse weg gemessen und zwar positiv in, vom Zenit aus gesehen, mathematisch negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn). Die Elevation ist der Winkel gegen die xy-Ebene, Gegen Zenit positiv gemessen.

Also welches KS darf es sein, wie werden die Winkel gemessen, etc.
Welche/wessen Winkel sind das überhaupt? Beachte, dasss ein "Vektor" weder durch einen Punkt laufen kann, noch eine Ebene schneiden kann. Du meinst vermutlich eine Gerade oder eine Strecke. Diese hätte dann natürlich einen Richtungsvektor.

Einmal definierst du, dass

Y 1

und

Y 2

Koordinaten, also reelle Zahlen, sind und kurz danach sprichst du unverständlicherweise vom "Vektor"

Y 1 Y 2

. Wie passt das zusammen?

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08:37 Uhr, 27.08.2018

1. Ich bin davon ausgegangen, dass die Achse für die Höhe die Y-Achse weil ich mich so noch an den Schulunterricht erinnert hab. In meinem Programm ist dies aber tatsächlich die

Z -

Achse, mein Fehler. Ich gehe immer davon aus, dass der Punkt an dem ich starte im Ursprung des Koordinatensystems liegt. In wirklichkeit hat dieser aber auch

x 1 y 1 z 1 -

Koordinaten. Daher berechne ich den

Y 2

wert für den Punkt zu dem der Vektor gehen soll als

Y 2 - Y 1

.

@ledum
mit Steigungswinkel meine ich den winkel zur horizontalen ebene, also wie ichs am Anfang beschrieben hab zur xz - ebene (oder eben zur xy - Ebene, wenn

Z

die Höhe ist). Mit Richtungswinkel meine ich den Winkel zur vertikalen Ebene xy.
( Hier ist jetzt die

Y -

Achse die "Höhenachse")
Mit dem Vektor

Y 2 Y 1

meine ich den Vektor, der in einem 2 dimensionalen Koordinatensystem von einem bekannten

Y -

wert zu einen anderen läuft, mit einem bestimmten Winkel. Ich nehme also den Wert

Y 2 - Y 1

als Ankathete und berechne die Länge der Hypothenuse

(Y 2 Y 1)

.

@maxsymca
genauso wie du die Winkel gezeichnet hast, meine ich das.
Den Rest versuch ich grad noch zu verstehen, Mathe ist solange her...:-D)

@Roman
Ja bei mir ist in dem Beispiel hier wie gesagt die Höhe

Y,

weil ich dachte dass das die Norm ist (Erinnerung Schule). Tatsächlich ist bei mir die Höhe aber auch die

Z

Achse.
Ich denke mal ich suche, wie du gesagt hast, den Richtungsvektor und keine Vektor an sich.

Ich habe einen Raum (soll eine quadratische Fläche wie zb. ein Gewächshaus dastellen) mit XYZ Koordinaten. Ich weiß nicht genau welches Koordinatensystem ich benutzen soll. Im endeffekt brauch ich die Koordinaten eines Punktes, der wie du gesagt hast, auf einem Richtungsvektor liegt, der mit den beiden geforderten Winkeln von einem Punkt in diesem Raum abgeht und sich in einer frei variierbaren Höhe

Y

(oder auch

Z,

ich hatte Höhe jetzt ja als

Y

definiert) befindet. Für diese

Y

Koordinate suche ich dann die zugehörigen

X

und

Z

Werte.
Mit den

Y 1

und

Y 2

Koordinaten, meine ich nur den

Y

Wert eines (xyz) Vektors und mit

Y 2 Y 1

meine ich die Länge des Vektors, der in einem 2 dimensionalen Koordinatensystem von

Y 1

Y 2

läuft, eben mit einer Steigung von

a

. Ich dachte mir, dass ich über diesen Wert anhand von Winkelfunktionen wiederrum die Länge des Vektor der

X

Komponente berechnen kann

Ich hoffe es hat sich jetzt alles geklärt, bin nicht so gut darin das zu erklären und mein Verständnis hingt auch etwas...

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08:57 Uhr, 27.08.2018

Schon mal danke für die ganzen Antworten!
Ich habs mal probiert mal mit Paint zu zeichnen, hoffe das hilft.

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09:25 Uhr, 27.08.2018

Hab in der zeichnung geschrieben dass ich den richtungsvektor suche. Eigentlich suche aber die zugehörigen XZ Koordinaten zu der

Y 2

Koordinate (ist dann durch einsetzen von

Y

in den Richtungsvektor möglich oder?)

maxsymca

10:20 Uhr, 27.08.2018

Wie man es auch betrachtet mit Deinen Erklärungen, es wird nicht besser....
Grundsätzlich ist ein mathematisches Koordinatensystem so aufgebau, siehe meine Antwort, dass die

z

Achse
(blau) „nach oben“, die

x

Achse (rot) „nach links“ und die

y

Achse (grün) „nach vorne“ zeigt. Mit diesen Grundlagen sollte meine Lösung tragfähig sein und auf Dein Problem anwendbar sein. Du musst Dein Problem so drehen, das es in die Mathematik rein passt. Cross ist das Vektor- oder Kreuzprodukt.

Roman-22

15:00 Uhr, 27.08.2018

Wenn ich deine Zeichnung richtig interpretiere, dann weist die x-Achse nach "hinten", die y-Achse nach oben und die z-Achse nach rechts.
Warum nicht - im Gegensatz zu maxsymca bin ich ja der Ansicht, dass sich nicht das Problem so drehen muss, damit es zur Mathematik passt, sondern dass sich gefälligst die Mathematik an das Problem anzupassen hat, wenn sie was taugen will.

Der Winkel

α

ist der Neigungswinkel gegen die xz-Ebene, nach "oben" (positive x-Ri) positiv.
Der Winkel

β

ist der Winkel der Projektion in die xz-Ebene gegen die x-Achse, der Sinn, in welchem sich

x

auf kürzesten Weg nach

z

dreht ist der positive.

Wenn das alles so pass, dann sollte (so ich mich auf die Schnelle nicht verhaspelt habe) für die fehlenden Koordinaten des zweiten Punktes

X_{2} = X_{1} + \frac{Y_{2} - Y_{1}}{tan α} \cdot cos β

und

Z_{2} = Z_{1} + \frac{Y_{2} - Y_{1}}{tan α} \cdot sin β

gelten.

Bei deinem Ansatz sind einige Fehler drin. Was du

V

nennst soll offenbar die Länge der Projektion deine Strecke auf die xz-Ebene sein. Diese ist aber

V = (Y_{2} - Y_{1}) \cdot cot α = \frac{Y_{2} - Y_{1}}{tan α}

und nicht einer der Ausdrücke, die du angegeben hattest.
Die tatsächliche Länge im Raum deiner Strecke is

\frac{Y_{2} - Y_{1}}{sin α},

aber um die Länge der Projektion auf xz zu erhalten, musst du mit

cos α

multiplizieren - daher dann im Endeffekt der

cot α

.
Der nächste Fehler war dein deine Annahme, dass der Anteil in

x

bzw. z-Richtung

\frac{V}{cos β}

bzw.

\frac{V}{sin β} = \frac{V}{cos (90^{\circ} - β)}

wären.
Richtig ist aber, dass du

V

mit

cos β

bzw.

sin β

multiplizieren musst und nicht dividieren.

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16:36 Uhr, 27.08.2018

Hey vielen Dank Roman. Ich hab mich heute auch nochmal beschäftigt und bin auf eine ähnliche Lösung bekommen, nur habe ich immer den cosinus benutzt. Wäre das auch möglich? Hab meine Lösung jetzt leider nur auf dem Uni Pc und bin schon wieder zuhause daher kann ichs grad leider nicht posten..... aber ich meine war immer

/ cos (a)

und dann

\cdot cos (90 - a)

oder so ähnlich. müsste ich sonst morgen nochmal posten

Roman-22

22:12 Uhr, 27.08.2018

Ja, du kannst jederzeit

sin β

durch

cos (90^{\circ} - β)

ersetzen (In einem Programm wohl eher durch

cos (\frac{π}{2} - β),

da im Bogenmaß gerechnet wird). Ich sehe darin allerdings keinen Vorteil.

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