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Vektor auf Unterraum projizieren

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Tags: Projizierung, Unterraum, Vektorraum

Tommily aktiv_icon

20:15 Uhr, 04.10.2012

Hallo.

Ich muss den Vektor

\vec{p} = (0,2,1, - 2)

auf meinen Unterraum projizieren.
Jetzt habe ich mir via Gram Schmidt die ONB berechnet.

Da ich nun schon ewig lange suche aber leider 2 verschiedene Lösungsvarianten gefunden habe, brauche ich dringend Eure Hilfe.

Berechne ich mir die Projektion nun durch:

P (\vec{p}) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{y^{(1)}}}{\vec{y^{(1)}} \cdot \vec{y^{(1)}}} \vec{y^{(1)}} + . .

.

oder durch

< \vec{p}, \vec{y^{(1)}} > \vec{y^{(1)}} + . .

.

beim ersten hab ich ein skalarprodukt von

\vec{p}

und

\vec{y^{(1)}}

dividiert durch

| | \vec{y^{(1)}}) | |^{2}

und beim zweiten ist es ohne die division?!

Muss ich nun normieren, wenn ja warum?!

LG,

michaL aktiv_icon

08:29 Uhr, 05.10.2012

Hallo,

du schreibst von ON(!)B, also mit normierten, paarweise orthogonalen Basisvektoren. Wenn sie schon normiert sind, dann ist das Teilen durch deren Betrag witzlos, da der Betrag normierter Vektoren eben gleich 1 ist. Das Teilen durch 1 kan man, muss man aber nicht explizit durchführen.

Da aber zum Berechnen einer OrthoGonalbasis im Endeffekt Gram-Schmidt zum Zuge kommt (scheint mir am einfachsten), MUSST du ja eh normieren.

So, warum also die Formel mit dem Teilen durch den Betrag? Diese Formel gilt sogar dann, wenn die Basis NICHT normiert, ja nicht mal orthogonal ist. Warum? Nun, es ist die Formel für die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen. SIehe dazu de.wikipedia.org/wiki/Orthogonalprojektion#Berechnung
Ich lasse die Formel gern im Oberstufenkurs herleiten, weil man damit einfach auf Winkelberechnung zwischen Vektoren kommt.

Mfg Michael

Tommily aktiv_icon

09:30 Uhr, 05.10.2012

Verstehe!

Mir war klar, dass ich mit Gram Schmidt schon normiere. Das mach ich ja^^
Aber mir war leider nicht klar wie ich mir das mit der Projektion vorstellen soll.

Das Problem war: Ich

. .

. habe bei der Projektion den Faktor den ich bei Gram-Schmidt rausgezogen habe vergessen.

\to

Es war kein normierter Vektor mehr. Und ich habe mich gewundert wieso dieser nicht mehr normiert ist. Obwohl ich ja gerade bei Gram-Schmidt gesehen habe, dass er es ist...
OMG, schlimmer Fehler!! Unachtsamkeit wird bestraft^^

Danke auf jeden Fall.

LG

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