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Vektor bestimmen, so dass er orthogonal ist

Schüler Musikschule, 12. Klassenstufe

Tags: orthogonalität

starlight23 aktiv_icon

16:30 Uhr, 05.01.2011

hallo,

wie kann ich einen vektor bestimmen, der orthogonal zu dem vektor

\frac{2}{2} / 1

ist?

danke und lg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:38 Uhr, 05.01.2011

Hallo!

Du stellst folgendes Skalarprodukt auf:

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0

Also:

2 x + 2 y + z = 0

Diese Gleichung hat zwei Freiheitsgrade,

d . h

. Du kannst

z . B

y

und

z

frei wählen und erhältst

x

in Abhängigkeit von diesen beiden Werten.

starlight23 aktiv_icon

16:41 Uhr, 05.01.2011

vielen dank für die antwort.
kann cih dann einfach nach

z

umstellen

z = - 2 x - 2 y

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16:58 Uhr, 05.01.2011

Das kannst Du auch, klar.

Z . B

. wähle

x = 0

und

y = 1,

dann ist

z = - 2 .

Da es unendlich viele Vektoren gibt, die zu Deinem Ausgangsvektor orthogonal sind, hast Du auch unendlich viele Lösungen...

starlight23 aktiv_icon

17:01 Uhr, 05.01.2011

vielen dank.
dann ist der vektor nach meiner rechenweise

(\frac{0}{- 1} / 2),

oder?
wenn ich danbn für zwei vektoren einen orthogonalen finden soll, kann ich das dann so schrieben

x, y, z = 1, 1, 1 \cdot 2,2,2

danke

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17:16 Uhr, 05.01.2011

Haaaalt!

Der Vektor, den Du angibst

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

stimmt!

Anders sieht es mit Deiner zweiten Aussage aus:

Ganz allgemein: wenn Du zwei Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

gegeben hast, und Du suchst zu diesen einen orthogonalen Vektor

\vec{c} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}),

dann musst Du zwei Skalarprodukte aufstellen:

\vec{a} \cdot \vec{c} = 0

und

\vec{b} \cdot \vec{c} = 0

\vec{c}

muss beide Gleichungen erfüllen.

starlight23 aktiv_icon

17:59 Uhr, 06.01.2011

danke für die antort.
wenn ich dann as vektor a

(2, 2, 1)

habe dann ist das skalarprodukt 3

der vektor

b

(3, 0, 4)

skalarprodukt:5

wie muss ich jetzt weiter orgehen?
danke

BeeGee aktiv_icon

23:02 Uhr, 06.01.2011

Die Frage verstehe ich nun nicht ganz. Ich nehme mal an, dass Du folgendes meinst:

Du hast die Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

gegeben und suchst einen Vektor

\vec{c},

der zu beiden orthogonal ist.

Dann setzt Du an:

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0

und

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = 0

Also:

2 x + 2 y + z = 0

3 x + 0 y + 4 z = 0

Dieses Gleichungssystem

(1

Freiheitsgrad!) musst Du lösen, um einen der gesuchten Vektoren zu erhalten.

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