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Vektor: implizite Form aus Parameterform herleiten

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: implizite Darstellung, Lineare Algebra, Parameterdarstellung, Vektor

Kachoudas

12:52 Uhr, 06.10.2012

Hallo Leute,

ich habe folgendes Problem mit einer Aufgabe für mein Studium. (Vorlesung Mathematik

1)

Ich habe 2 Punkte A(3/1)und B(2/4)einer Geraden in

ℝ

² gegeben und muss diese zuerst

a)

in Parameterform, dann

b)

in impliziter Schreibweise darstellen.

a)

habe ich problemlos lösen können:

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})

b)

muss ich aus

a)

herleiten. Ich konnte die Gerade aber nur aus den 2 Punkten berechen:

3 x_{1} + x_{2} = 10 (x_{1} = x, x_{2} = y)

Doch wie kann ich die Rechnung so angehen, dass ich

3 x_{1} + x_{2} = 10

aus

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix})

herleite?

Ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen. Das Problem ist jetz zwar nicht so kritisch, da ich beide Ergebnisse erhalten habe, doch nicht so wie es verlangt ist.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

maxsymca

13:20 Uhr, 06.10.2012

Grundsätzlich ist immer statthaft die gesuchte Gleichung über 2 Punkte (gegeben oder bestimmt) zu ermitteln. Die Parameterform stellst DU um, in dem Du

λ

aus einer Koordinatengleichung ermittelst und in die andere einsetzt...

Kachoudas

13:31 Uhr, 06.10.2012

hmm... wäre es möglich, mir dies anhand meines gegebenen Beispiels zu erläutern?
Danke für die schnelle Hilfe und weitere Antworten.

Femat aktiv_icon

14:17 Uhr, 06.10.2012

Aus dem Richtungsvektor

(- 1; 3)

folgt Steigung

m = - 3

Allg. Gleichung y=mx+d also

y = - 3 x + d

. Jetz bekannten Punkt

(3; 1)

einsetzen.

1 = - 3 \cdot 3 + d

. Also

d = 10

und somit

y = - 3 x + 10

und durch Umstellen und

x

und

y

wieder zu x1bzw

x 2

machen gibt die gewünschte Lösungsformel

Kachoudas

15:11 Uhr, 06.10.2012

Vielen Dank für die schnelle Lösung meines Problems!
Darauf hätte ich eigentlich auch selbst kommen können :-)

Damit wäre mein Problem prinzipiell erledigt,
doch ich habe noch eine kurze Rückfrage:

Wie lässt sich das für eine Ebene im 3-dimensionalen Raum durchführen?

also die Parameterform:

\vec{x} = \vec{p} + λ \vec{r_{1}} + μ \vec{r_{2}}

in die implizite Form:

a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d

bringen

Wie kann ich hier die Konstanten

a, b, c, d

anhand der Richtungsvektoren bestimmen?

Femat aktiv_icon

16:03 Uhr, 06.10.2012

Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren

r 1

und

r 2

bilden. Liefert dir den Normalenvektor der Ebene. Dieser liefert dir direkt die 3 Koeffizienten

a, b

und

c

.
ax+by+cz+d=0 Dann den bekannten Punkt in diese Gleichung einsetzen und damit

d

berechnen. :-)

Kachoudas

16:29 Uhr, 06.10.2012

Vom Kreuzprodukt habe ich noch nichts gehört. Weder in der Vorlesung, noch steht im Skriptum bisher etwas darüber.
Naja, jedenfalls habe ich mich jetzt darüber schlau gemacht und kann die Aufgabe nun selbst lösen.

Vielen Dank für die schnelle Hilfe zur Lösung meines Problems. Ihr wisst wirklich, wie man jemandem etwas verständlich erklärt :-)

mfg

Kachoudas

16:32 Uhr, 06.10.2012

1034075

1034030

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