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Vektoren: Kommen die Flugzeuge zum Crash?

Schüler Gymnasium,

Tags: Vektor

xthetobs aktiv_icon

18:33 Uhr, 18.05.2014

Hallo,
ich habe eine Frage zu meiner Aufgabe (Klausurvorbereitung zur Analytischen Geometrie :-D)). Und zwar weiß ich was ich machen soll, im Prinzip nur steht ein Parameter im Vektor und dadurch bin ich aufgeschmissen. Wie gehe ich da vor?

Aufgabe:

a)

Ein Flugzeug A bewegt sich auf einem als geradlinig angenommmenen Kurs von

P (- 35 | 50 | 10)

pro Sekunde um

(0,15 | - 0,15 | 0)

(Vektor). Zum gleichen Zeitpunkt, in dem Flugzeug A sich im Punkt

P

befindet, fliegt ein zweites Flugzeug

B

vom Punkt

Q (- 25 | 15 | 9)

geradlinig in Richtung des Vektors

(0,1 | - 0,05 | k)

.
Untersuchen Sie, ob es auf den bieden Flugbahnen zu einer Kollision kommen kann.

Mein Plan sieht so aus: - Vektorgleichung aufstellen

\to

Gleichsetzen
bisher habe ich das gemacht für gA:

| (0,15 | - 0,15 | 0) =

sqrt(0,15²+(-0,15)²+0²)

= 0,21

\frac{1}{0,21} \cdot (- 35 | 50 | 10) = (- 166 \frac{2}{3} | 238 \frac{2}{21} | 47 \frac{13}{21})

das ergibt als Gleichung für A also: gA:x

= (- 35 | 50 | 10) + t \cdot (- 166 \frac{2}{3} | 238 \frac{2}{21} | 47 \frac{13}{21})

Und wie mache ich das mit k?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Ma-Ma aktiv_icon

18:47 Uhr, 18.05.2014

Erster Schritt: Die gemischten Brüche entfernen ! WER soll sich das antun?

- - - - - - - - - - - - - - -

Ansonsten: 2 Geradengleichungen aufstellen und gleichsetzen, das ist richtig.
Zeige die beiden Geradengleichungen mal

. .

xthetobs aktiv_icon

18:46 Uhr, 19.05.2014

Das ist ja mein Problem ich bekomme die 2. Geradengleichung nicht hin wegen des Parameters,

k

.
Ich würde halt die bei gA also der 1 Geradengleichung für das Flugzeug A vorgehen. Also:

| (\frac{0,1}{- 0,05} / k) | =

sqrt(0,1²+(-0,05)²+k²)

= ... .

prodomo aktiv_icon

06:17 Uhr, 20.05.2014

Mache dir klar, was das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen in der Realität bedeutet. Beide Flugzeuge müssten sich zur gleichen Zeit am gleichen Ort im Raum befinden.
Es gilt

g : \vec{x} = (\begin{matrix} - 35 \\ 50 \\ 10 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 0,15 \\ - 0,15 \\ 0 \end{matrix})

h : \vec{x} = (\begin{matrix} - 25 \\ 15 \\ 9 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0,1 \\ - 0,05 \\ k \end{matrix})

Gleichsetzen bedeutet jetzt, dass alle 3 Komponenten übereinstimmen müssen. Das hast du nicht konsequent gemacht !

- 35 + 0,15 \cdot t = - 25 + 0,1 \cdot s

50 - 0,15 \cdot t = 15 - 0,05 \cdot s

10 = 9 + k \cdot s

Addition der beiden ersten Gleichungen liefert

15 = - 10 + 0,05 \cdot s,

also

s = 100

. Damit folgt in der dritten

10 = 9 + 100 \cdot k

oder

k = 0,01

. Für

t

ergibt sich durch Einsetzen von

s

der Wert 0.
Jetzt kommt der Text ins Spiel.

t

ist die Zeit, gemessen in Sekunden ab dem Punkt, zu dem sich A bei

(- 35 | 50 | 10)

befand und

B

bei

(- 25 | 15 | 9)

. Wenn

t

also 0 sein muss, müssten diese beiden Punkte identisch sein, was aber offensichtlich nicht der Fall ist. Also schneiden sich die beiden Flugbahnen zwar im Raum, aber die beiden Flugzeuge sind nie gleichzeitig an einem Punkt.

s

und

k

können alle möglichen Werte annehmen, aber

t

hat eine konkrete Bedeutung.

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