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Vektoren bestimmen, Winkel gegeben!

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: fehlende koordinate, Vektor

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16:28 Uhr, 09.11.2011

Meine Aufgabe lautet:

Man hat zwei Vektoren

a = 519

und

b = b 18 - 2

und der winkel

α

ist

90

grad

wie bestimme ich die fehlende Koordinate?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

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16:29 Uhr, 09.11.2011

Edit:

Vektor A hat die Koordinaten : Vektor

B

hat die Koords

x 1 = 5 x 1 = b 1

x 2 = 1 x 2 = 8

x 3 = 9 x 3 = - 2

Und jetzt soll ich

b 1

bestimmen!

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16:34 Uhr, 09.11.2011

bilde das skalarprodukt... was kommt immer bei dem skalarprodukt senkrechter vektoren raus?

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16:48 Uhr, 09.11.2011

dann wäre das

5 b 1 + 8 - 18 = 0

b 1 = 2

?

ist das so richtig?

deine frage kann ich nicht beantworten

= (

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16:50 Uhr, 09.11.2011

aber dann hätte ich den winkel

α

ja nicht beachtet!!

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16:56 Uhr, 09.11.2011

ist alles korrekt...

den winkel

α

hast du beachtet indem du das gleich null gesetzt hast, denn

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (α)

und der

cos

von

90

grad ist eben null...

lg

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17:05 Uhr, 09.11.2011

wie mache ich das dann mit anderen winkeln, wie zb

45

oder

60

grad?

das hab ich noch nicht ganz verstanden

und warum

cos

und nicht sin bzw. tan?

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17:09 Uhr, 09.11.2011

hmmm... hattet ihr das skalarprodukt überhaupt schon gelernt? wenn nicht müssten wir noch einen weg einschlagen (wird aber super umstaendlich).

der

cos

ergibt sich aus dreiecksüberlegungen... siehe auch wiki artikel

mit anderen winkeln

α

musst du einfach

α

in den

cos

einsetzen und schauen was rauskommt

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17:12 Uhr, 09.11.2011

doch wir hatten das skalarprodukt schon, aber das besagt ja, dass zwei vektoren zueinander orthogonal sind wenn das skalarprodukt gleich 0 ist.

aber was hat das mit dieser aufgabe zutun?

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17:14 Uhr, 09.11.2011

na zwei vektoren sind orthogonal zueinander, wenn der winkel zwischen ihnen

90

grad betraegt...

das nutzen wir aus um

b 1

zu berechnen

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17:16 Uhr, 09.11.2011

ja das ist klar, aber bei einem winkel von zb

45

grad würde ja dann das skalarprodukt nichts nutzen oder?

weil es ja dann keine Rechtwinkligkeit zw. den vektoren gibt!

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17:19 Uhr, 09.11.2011

na dann muesstest du nicht fuer

α 90

grad einsetzen sondern

45

grad xD

sprich nicht das skalarprodukt gleich null setzen, sondern wie oben in der formel schon gesagt gleich

| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot

cos(45°)

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17:23 Uhr, 09.11.2011

Für mich ist das Skalarprodukt

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0

d . h

. ich mache für eine diese afg.

Vektor

a = 1,0, a 3

Vektor

b = 0,0, - 3

α = 45

- 3 a = cos (45)

aber des kann ja nicht sein, dass für a dann

- 0,23

rauskommt??!

oder macht man dann

- 3 a \cdot cos (45) = 0

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17:30 Uhr, 09.11.2011

langsam langsam

das skalarprodukt ist erstmal nur

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

wenn ich weiss, dass die vektoren orthogonal sind, dann weiss ich dass da null rauskommen muss, also

a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3} = 0

allgemein lautet die formel aber

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot cos (α)

das ist fuer deine aufgabe

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ a_{3} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) = | (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ a_{3} \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}) | \cdot

cos(45°)

hier kann man jetzt

a_{3}

berechnen...

und achtung!!! du musst deinen taschenrechner auf degree stellen... sonst rechnet er nicht in grad sondern im bogenmass

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17:37 Uhr, 09.11.2011

so dann hat man

- 3 a =

Wurzel aus 1+a²

\cdot

Wurzel aus 3²*cos(45)

wie soll ich damit den a rausbekommen?

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17:39 Uhr, 09.11.2011

quadriere erstmal beide seiten der gleichung

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17:47 Uhr, 09.11.2011

erstmal sry, dass ich solange brauch, um die aufgabe zu checken,
vektoren ist nicht wirklich mein ding..

so und jetzt nochmal zur afg:

ich hab jetzt raus:

- a =

1+(cos(45))²

| \cdot (- 1)

a =

-1-cos(45)²

aber das kann doch nicht sein??

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17:54 Uhr, 09.11.2011

- 3 a_{3} = \sqrt{1 + a_{3}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} \cdot cos (45)

beide seiten quadrieren

{(- 3 a_{3})}^{2} = {(\sqrt{1 + a_{3}^{2}} \cdot \sqrt{3^{2}} \cdot cos (45))}^{2}

{(- 3)}^{2} a_{3}^{2} = {\sqrt{1 + a_{3}^{2}}}^{2} \cdot {\sqrt{9}}^{2} \cdot {(cos (45))}^{2}

9 a_{3}^{2} = (1 + a_{3}^{2}) \cdot 9 \cdot {(cos (45))}^{2}

a_{3}^{2} = (1 + a_{3}^{2}) \cdot {(cos (45))}^{2}

ausmultiplizieren

a_{3}^{2} = {(cos (45))}^{2} + a_{3}^{2} \cdot {(cos (45))}^{2}

a_{3}^{2} - a_{3}^{2} \cdot {(cos (45))}^{2} = {(cos (45))}^{2}

a_{3}^{2} (1 - {(cos (45))}^{2}) = {(cos (45))}^{2}

a_{3}^{2} = \frac{{(cos (45))}^{2}}{1 - {(cos (45))}^{2}}

a_{3} = \sqrt{\frac{{(cos (45))}^{2}}{1 - {(cos (45))}^{2}}}

hoffe hab mich nicht verrechnet...

Valiiiiiiiiiiiii aktiv_icon

22:12 Uhr, 13.11.2013

Hey, könntest du vllt erklären, wieso man die beiden Seiten der Gleichung quadriert?

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