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Vektoren im Raum

Schüler Gymnasium,

Tags: Textaufgabe, Vektoren

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20:15 Uhr, 27.09.2011

Hallo, könnt ihr mir bei der folgenden Aufgabe helfen:

In der heutigen technisierten Welt sind Industrieroboter weit verbreitet. Sie können dank ihrer Flexibilität für Schweißarbeiten, zum Schneiden,Bohren,Lackieren(..)sehr effektiv eingesetzt werden.
Der Werklzeughalter eines solchen Roboters ist mit einem Bohrer bestückt. Daher soll von einem Startpunkt

S

aus geradekinig in Richtung seiner Achse bis zur Einsatztstelle

P

verschoben werden. Der Bohrenspitzer liegt im Punkt

S (72,31,95)

die Bohrstelle im Punkt

P (68,45,83)

a)

Um wieviele einheiten muss sich der roboterarm jeweils in richtung x1-achse,x2-achse und in richtung x3-achse bewegen?

b)

die bohrerhalterung liegt vor der versciebung im punkt

H (78,28,103)

geben sie die koordinaten seines bildpunktes H´nach der Verschiebung an.

c

wie lang ist der weg der bohrerspitze bei dieser verschiebung?

Meine Ideen:
soo, zu a würde ich vorschlagen, dass man den Punkt SP berechnet , das heißt op-os berechnet, bin mir aber nicht sicher.

zu

b

fällt mir nichts ein.

zu

c :

ich denke, dass man die länge der Strecke HH´berechnen müsste.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Aurel

01:01 Uhr, 28.09.2011

a)

ja, und und die

x -, y -,

z-Koordinaten von

\vec{S P}

geben an, um wieviele Einheiten sich der Roboterarm jeweils in Richtung x-Achse, y-Achse und in Richtung z-Achse bewegt.

b)

es muss gelten

\vec{H S} = \vec{H' P}

. Daraus kannst du

H'

berechnen.

c)

ja, oder die Länge von

\vec{S P},

weil

\vec{S P} = \vec{H H'}

Aurel

01:01 Uhr, 28.09.2011

gelöscht

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01:12 Uhr, 28.09.2011

hey,
erstmal Dankeschön für deine Antwort.
Leider verstehe ich das immer noch nicht vollkommen.
Also

a)

habe ich verstanden.
Allerdings bereitet mir Aufgabe

b)

enorme Probleme. Könntest du den Rechenweg näher erläuteren, eventuell mit einer Lösung, damit ich das nachvollziehen kann?
H´ist doch nicht gegeben und ehrlich gesagt verstehe ich nicht mal was dieses ´zu bedeuten hat.
zu

c);

hier verstehe ich nicht wieso hh´gleich sp ist, das sind doch zwei verschiedene vektoren

Aurel

01:25 Uhr, 28.09.2011

b)

Mach dir klar, wie das Werkzeug aussieht. Der Bohrer mit seiner Bohrerspitze wird von der Bohrerhalterung gehalten, somit ist die Bohrerhalterung ein wenig von der Spitze entfernt, aber mit dieser fest verbunden - und daran ändert sich auch nach der Verschiebung nichts.

\vec{H S} = \vec{H' P}

x, y, z

seien die Koordinaten von

H'

also

(\begin{matrix} 72 - 78 \\ 31 - 28 \\ 95 - 103 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 68 - x \\ 45 - y \\ 83 - z \end{matrix})

also: 3 Gleichungen:

72 - 78 = 68 - x \Rightarrow x = ... ... ... ... ... .

usw.

y = ... ... ... ...

z = ... ... .

c)

Wenn 2 Vektoren gleich lang sind und die gleiche Richtung haben, sind sie gleich.

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15:06 Uhr, 28.09.2011

so zu

b

habe ich

74,42,91

herausbekommen.

woher weißt du aber, dass man HS= H´P berechnen muss. Also das man HS berechnen muss,ist mir klar, da es ja VOR der Verschiebung ist, Nach der Verschiebung müsste man doch H´S berechnen. Also so hätte ich das gemacht(ich weiß aber, dass mein Weg falsch ist :S)Könnte man sich

i

.wie eine Formel

o

.ä. merken, für solche ähnlichen Aufgaben in Klausuren? textaufgaben bereiten mir echt probleme,da ich mir sowas bildlich nicht vorstellen kann.

zu

c)

H´H ist doch der gleiche Vektor wie S´S oder?

wie rechnet man jetzt die Strecke aus?

Aurel

15:40 Uhr, 28.09.2011

b)

Wie erklär ichs jetzt :-)

Vesuche es zu verstehen.

Mach dir jedenfalls eine Skizze - siehe dazu meine angehängte Skizze (die Koordinaten sind dort beliebig gewählt - der Sachverhalt soll nur grob skizziert werden.)

"woher weißt du aber, dass man HS= H´P berechnen muss"

ich berechne nicht HS= H´P sondern der Vektor HS ist der gleiche Vektor (hat die selben Koordinaten) wie der Vektor H´P - überlege warum -
daher setze ich sie gleich (ich stelle eine Gleichung auf) und aus dieser Gleichung berechne ich dann

H'

H' = (\begin{matrix} 74 \\ 42 \\ 91 \end{matrix}) ... ... . .

. das hast du richtig gerechnent

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

du kannst

H'

auch anders, nämlich so berechnen:

\vec{0 H'} = \vec{0 H} + \vec{S P}

Überlege warum?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

c)

" H´H ist doch der gleiche Vektor wie S´S oder?"

du meinst:

\vec{H H'}

ist doch der gleiche Vektor wie

\vec{S P}

?

Ja.

Die Länge von

\vec{S P}

nennt man den Betrag von

\vec{S P},

und man schreibt dafür

| \vec{S P} |

berechne also zunächst

\vec{S P} = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

dann berechne

| \vec{S P} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = ... ... .

Aurel

15:53 Uhr, 28.09.2011

Ups, meine Skizze war verschwunden

Skizze:

Die Bohrerspitze

S

wird nach

P

verschoben und dabei wird natürlich zugleich die Bohrerhalterung

H

H'

verschoben, daher sind

\vec{H S}

und

\vec{H' P}

gleich lang und parallel zu einander, und somit sind diese Vektoren gleich.
Auch

\vec{S P}

und

\vec{H H'}

sind gleich

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21:11 Uhr, 29.09.2011

Hey , oke soweit habe ich es verstanden, aber ich habe noch´ne Frage bezüglich der Aufgabenstellung

b)

.

Wieso kann man die Formel H´= OH+SP anwenden?

Wenn man zwei Vektoren addiert,was bekommt dann raus(Allgemein)?

Aurel

23:06 Uhr, 29.09.2011

Vektoren sind eindeutig definiert durch ihre Richtung und ihre Länge. Werden bei einem Vektor Richtung und Länge nicht verändert, so bleibt er gleich (seine Vektorkoordinaten verändern sich nicht), auch wenn er in der Ebene bzw. im Raum verschoben wird - Parallelverschiebung eines Vektors ändert diesen also nicht.
Vektoren haben eine Spitze und einen Schaft ( hinteres Ende)
Die Addition von 2 Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

kann man sich anschaulich so vorstellen:
Durch Parallelverschiebung verschiebt man

\vec{a}

und

\vec{b}

so, dass der Schaft eines der beiden Vektoren genau an der Spitze des anderen Vektors ansetzt. Die Summe

\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}

ist dann der Vektor, der vom Schaft des anderen Vektors bis zur Spitze des einen Vektors reicht.

siehe:
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Vector_addition.svg

"Wieso kann man die Formel H´= OH+SP anwenden?"

Ein Ortsvektor

\vec{O P}

kennzeichnet einen Punkt in einem Koordinatensystem eindeutig.
Mittels der Vektoraddition - wie oben beschrieben, ergibt sich:

\vec{O H'} = \vec{O H} + \vec{H H'}

\vec{H H'}

ist aber nicht bekannt. Da aber gleich lange, parallele Vektoren gleich sind, gilt

\vec{H H'} = \vec{S P},

und somit folgt:

\vec{O H'} = \vec{O H} + \vec{S P}

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