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Vektorenaufgabe

Universität / Fachhochschule

Tags: Abiprüfung, Vektoren

isi1977 aktiv_icon

16:30 Uhr, 29.01.2010

Abiturprüfung GK NT

2008

Wir haben eine knifflige Hausaufgabe bekommen. Ansätze habe ich gemacht, aber irgendwie komm ich nicht weiter. Vielleicht kann mir ja jemand von euch einige Tipps zu den Aufgaben geben. Ich möchte es dann schon selbst probieren. Aber Gedankenansätze schaden nicht.
Danke schön

Aufgabenstellung
Durch

A (2,5; - 2; 0), B (2,5; 2; 0), C (- 2; 2; 0), D (- 2; - 2; 0)

und

S (0; 0; 12)

ist eine schiefe Pyramide mit rechteckiger Grundfläche ABCD und Spitze

S

festgelegt.

a

. Zeigen Sie, dass der Punkt

F (- 1,5; 1,5; 3)

auf der Pyramidenkante (Vektor)CS liegt.

b

E

sei die Ebene, inder die Pyramidenkante (Vektor)AB und der Punkt

F (- 1,5; 1,5; 3)

liegen.
Ermitteln Sie eine Gleichung von

E

in Parameter- und in Koordinatenform.
Zeigen Sie, dass die Ebene

E

die Pyramidenkante (Vektor)DS in

G (- 1,5; 1,5; 3)

schneidet.
(zur Kontrolle:

E : 6 x + 8 x - 15 = 0)

c

. Die Ebene

E

schneidet die Pyramide in einer Schnittfläche.
Begründen Sie, dass die Schnittfläche der Ebene

E

mit der Pyramide ein symmetrisches Trapez ist.
Ermitteln Sie den Flächeninhalt dieses Trapezes.

d

. Es sei

l

die Gerade, die orthogonal zur Ebene

E

durch den Punkt

S

verläuft.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes

L

der Geraden

l

mit der Ebene E.

e

. Die Ebene

E

teilt die Pyramide in einen oberen Teilkörper und einen unteren Teilkörper.
Bestimmen Sie das Volumen des unteren Teilkörpers.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:36 Uhr, 29.01.2010

Hallo Isolde,

na, dann mal los. Ich denke, du hättest keine Aufgabe aufgeschrieben, die du selbst lösen kannst. Daher zu a): Wie prüft man denn, ob ein Punkt auf einer durch zwei Punkte gegebenen "Kante" liegt?

Mfg Michael

isi1977 aktiv_icon

20:45 Uhr, 29.01.2010

Hallo Michael,

zu

a :

ich habe zuerst den Punkt F=(Vektor)OC+r(Vektor)CS
gerechnet und da habe ich

- 0,25

als

r

heraus. Also liegt der Punkt

F

auf der Pyramidenkante (Vektor)CS

zu

b :

da habe ich lange gerätselt.
Aber eigentlich muss ich eine Ebenengleichung aufstellen.
E:x=(Vektor)OA+s(Vektor)AB+(Vektor)AF???
bin mir nicht sicher ob der letzte Richtungsvektor richtig wäre...

Ich musste vorhin noch weg, daher kam ich leider erst nun dazu.

Danke Isolde

michaL aktiv_icon

21:22 Uhr, 29.01.2010

Hallo Isolde,

zu a): Sofern du als Vektor(CS) den Vektor

\vec{O C} - \vec{O S}

meinst, dann richtig, sonst hast du irgendwie einen Vorzeichenfehler.

Zu b): Eigentlich klingt das ganz vernünftig. Beim Nachrechnen ist mir aufgefallen, dass deine Kontrolllösung fehlerhaft ist. Dort sollte das zweite

x

ein

z

sein.

Soweit erst einmal?

Mfg Michael

isi1977 aktiv_icon

17:32 Uhr, 31.01.2010

Hallo Michael,

ich werde ab

20 : 30

Uhr wieder online sein und mich mit dieser Aufgabe auseinander setzen. War von der Zeit her die letzten Tage schlecht.

Vielleicht bist du dann ja auch online. Ansonten werde ich es ersteinmal weiter rechnen bzw probieren und dir mal die Ergenisse mitteilen.

Danke

Isolde

isi1977 aktiv_icon

21:53 Uhr, 31.01.2010

Die Korntrolllösung war so vorgegeben. Ich kann damit nicht viel anfangen.

bei

b

habe ich nun so angefangen:

E : x = (2,5, - 2,0) + r (0, - 4, 0) + s (- 4, 3,5, 3)

= OA

+

+

AF
dann

E : x = (2,5, - 2, 0) + t (- 2, - 2, - 12) + v (- 4, 0,5, 3)

= OA

+

+

AG

wenn ich die beiden gleich setze, dann komm ich einfach nicht weiter, aber ich soll ja zeigen, dass sich die beiden Ebenen schneiden, oder muss ich als zweite nur eine Geradengleichung (G:x=DS+AG) aufstellen?

Lieben Gruß

Isolde

michaL aktiv_icon

23:32 Uhr, 31.01.2010

Hallo Isolde,

bei b) hast du eine Parameterform der Ebene angegeben. Du solltest noch eine Koordinatenform angeben.
Dann stellt man (so wünschen es sich die Aufgabensteller zumindest) noch die Geradengleichung derjenigen Geraden auf, die die Punkte

D

und

S

enthält.

Danach ist es einfach, den Schnittpunkt zu bestimmen, der sollte

G

sein. Dazu kannst du entweder die beiden Paramterformen (die der Ebene und die der Geraden) gleichsetzen (aufwendige Rechnerei) oder du setzt die Komponenten der Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Ebene ein und erhältst daraus eine Gleichung für den Geradenparameter ODER du testest einfach, ob

G

SOWOHL in der Ebene (in Koordinatenform einsetzen) ALS AUCH auf der Geraden liegt.

Mfg Michael

isi1977 aktiv_icon

21:52 Uhr, 01.02.2010

Hallo Michael,

so ich habe versucht die Koordinatenform aufzustellen, aber irgendwas ist verkehrt.

x (1) = 2,5 - 4 s

x (2) = - 2 + 4 r + 3,5 s

x (3) = 3 s

da habe ich dann auch aufgehört, da ich die unbekannten nicht eleminieren kann.

Geradengleichung:

g : x = (- 2, - 2, 0) + k (2, 2, 12)

E : x = g : x

(2,5, - 2, 0) + r (0, 4, 0) + s (- 4, 3,5, 3) = (- 2, - 2, 0) + k (2, 2, 12)

s = 1

k = o,25

r = 1,375

somit kann ich feststellen, dass der Punkt

G

nicht geschnitten wird, da beim einsetzen von

r

nicht

1,375

sondern 1 rauskommt.

Nun gehe ich an Aufgabe

c

Danke und lieben Gruß

Isolde

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