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Vektorfeld in Zylinderkoordinaten umrechnen

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Tags: Sonstig

Husteguzel aktiv_icon

12:52 Uhr, 31.12.2015

Hi,

ich möchte gerade ein Vektorfeld in Zylinderkoordinaten darstellen. Ich finde zwar Unmengen an Formeln und Herleitungen im Internet komme damit aber leider nicht weiter. Was mir fehlt ist ein mal ein Beispiel mit konkreten Werten. Scheinbar ist das aber so einfach das der Rest der Menschheit so etwas nicht benötigt.

Deshalb wäre es lieb wenn jemand mal folgendes Vektorfeld in Zylinderkoordinaten darstellen könnte:

F (x, y, z) =

((x-yz),(y+xz),(z))

Wenn es geht bitte mit Schritt für Schritt Anleitung :-)

Einen guten Rutsch wünsche ich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

19:28 Uhr, 31.12.2015

Hallo
Zylinderkkordinaten

x = r \cdot cos (t)

y = r \cdot sin (t)

z = z

(oder

z = h)

x-yz=rcos(t)-z*r*sin(t)
y+xz=r*sin(t)+z*r*cos(t)

z = z

oder

z = h

F = (\begin{matrix} r \cdot cos (t) - z \cdot r \cdot sin (t) \\ r \cdot sin (t) + z \cdot r \cdot cos (t) \\ z \end{matrix})

Gruß ledum

Husteguzel aktiv_icon

14:11 Uhr, 01.01.2016

Hallo Ledum,

danke für die Rückmeldung.

Es ist in diesem Fall also so das ich einfach die Allgemeine Formel als Lösung benutze weil ich für

x, y

und

z

schlicht keine Werte zum Rechnen habe?

r

wäre dann wie bei Zylinderkoordinaten üblich

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

was sich halt mit dem gegebenen hier nicht berechnen lässt.

Hätte ich jetzt ein Vektorfeld gegeben mit den Koordinaten:

F (v) = (\begin{matrix} 3 x \\ - z \\ 2 y \end{matrix})

Wäre dies dann in Zylinder Koordinaten:

F (v) = (\begin{matrix} r \cdot 3 \cdot cos (t) \\ - 2 \cdot r \cdot sin (t) \\ 2 y \end{matrix})

oder darf ich in dem Fall bei

y

für

- z

nicht einfach

2 y

einsetzen?

Und noch eine weitere Frage, für Kugelkoordinaten wäre das vorgehen Analog nur eben mit der entsprechenden Formel?

Roman-22

15:57 Uhr, 01.01.2016

>

oder darf ich in dem Fall bei

y

für −z nicht einfach

2 y

einsetzen?
So ist es.

D . h .,

du darfst nicht. Darum wäre es auch besser gewesen, so wie ledum das auch kurz angedeutet hatte, bei Zylinderkoordinaten anstelle von

z

die Bezeichnung

h

zu verwenden, um Missverständnisse auszuschließen.
Du möchtest ja mit deiner Funktion

F

einem Punkt

(r; φ; h)

in Zylinderkoordinaten einen Vektor zuordnen.
Dieser Vektor wird aber (zumindest in ledums Lösung) in kartesischen Koordinaten angegeben.
Die entsprechende Lösung für dein selbstgewähltes Beispiel wäre demnach:

F : (r; φ; h) = (r \cdot cos φ; r \cdot sin φ; h) = (x; y; z) \to (\begin{matrix} 3 x \\ - z \\ 2 y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x' \\ y' \\ z' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot r \cdot cos φ \\ - h \\ 2 \cdot r \cdot sin φ \end{matrix})

Bei dem "

- z

" in deinem Beispiel bezieht sich das

z

ja auf die z-Koordinate des Urbilds und nicht auf die z-Komponente des Bildvektors. Daher ist bei dir auch die y-Komponente des Ergebnisses falsch.

Die Vorgangsweise ist immer, wenn die Abbildung nur in kartesischen Koordinaten gegeben ist:

1)

Umwandeln des Urbilds (gegeben in Zylinderkoordinaten oder in einem anderen KS) in kartesischen Koordinaten

2)

Anwenden der Abbildung

F

3)

entweder ist man (so wie oben) mit dem Ergebnis in kartesischen Koordinaten zufrieden, oder man wandelt eben noch zurück ins Ausgangssystem. Je nach Angabe.

R

Husteguzel aktiv_icon

18:06 Uhr, 01.01.2016

So langsam wird es verständlicher, da spielt doch deutlich mehr rein als ich dachte...

Eine Sache irritiert mich aber noch besonders. Ich habe jetzt für

r

ja eigentlich keinen konkreten Wert? Ich hab erst vorgestern das Umrechnen von einem Punkt aus Kartesischen in Zylinder Koordinaten gelernt. Und hier hätte ich ja

z . B

. für

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Müsste ich jetzt mit

r

weiterrechnen, ist mein

r

dann jetzt

= 3 \cdot r \cdot cos (t)

oder

= \sqrt{{(3 x)}^{2} + {(- z)}^{2}}

.

Wenn ich jetzt

z . B

. sagen würde

\frac{\partial F r}{\partial z}

(Also Fr partiell Ableiten nach

z

. Würde ich dann jetzt

3 \cdot r \cdot cos (t)

nach

z

ableiten oder

\sqrt{{(3 x)}^{2} + {(- z)}^{2}}

?

Dritte Variante wäre vielleicht noch

3 \cdot \sqrt{{(3 x)}^{2} + {(- z)}^{2}} \cdot cos (t) . .

Roman-22

18:12 Uhr, 01.01.2016

Was soll Fr denn sein?
Und von welchem

z

sollte Fr abhängig sein?

Husteguzel aktiv_icon

18:30 Uhr, 01.01.2016

Naja Fr wäre dann die

r

Komponente aus dem Vektorfeld. So wie halt Fx die

x

Komponente wäre. (Das

r

bzw.

x

soll tiefgestellt sein.)

Wenn ich

z . B

. das Vektorfeld rotieren wollen würde in Zylinder Koordinaten. Dann müsste ich nach meiner Formel Partielle Ableitungen bilden. Und da kommt dann eben auch eine Ableitung von (∂Fr)/(∂z) vor. Deshalb wollte ich jetzt wissen was denn mein

r

nun konkret wäre.

ledum aktiv_icon

13:35 Uhr, 02.01.2016

Hallo
nimm erst mal nur Polarkoordinaten:
ein Punkt in der Ebene kannst du angeben duech die Koordinaten

(x_{1}, y : 1) d . h \in x

Richtung

x : 1

gehen, in

y

Richtung

y_{1}

oder du kannst seine entfernung zum Nullpunkt und den winkel zur

x -

Achse angeben, also

r

und

φ

dann ist nach Pythagoras

r^{2} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}

und

cos (φ) = \frac{x_{1}}{r}, sin φ = \frac{y_{1}}{r}

.
das sind nur Beschreibungen der Punkte in der Ebene. wenn du jetzt ein Vektorfeld gegeben hast, gibt das in jedem Punkt der Ebene einen Vektor an.

z

. B.

F (x, y) = (3 y,2 x)

das willst du in denselben Koordinaten beschreiben. Hier gilt natürlich nicht mehr

F_{x}^{2} + F_{y}^{2} = x^{2} + y^{2} = r^{2}

wenn du F_x^2+Fy^2 ausrechnen willst also

{| F |}^{2}

dann hast du

9 y^{2} + 4 x^{2}

das ist die Länge des Vektors , die nichts direkt mit

r^{2}

zu tun hat.
vielleicht hilft dir ein Bild?
Gruß ledum

Husteguzel aktiv_icon

16:54 Uhr, 03.01.2016

Ja das erklärt es ganz gut. Ich denke ich habe jetzt einen guten Überblick, muss das aber mal mit ein paar Übungsaufgaben vertiefen.

Vielen Dank, ihr habt mir wieder sehr geholfen :-)

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