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Vektorraum
Universität / Fachhochschule
Tags: Vektor
 
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Hallo, ich tue mir gerade recht schwer mit Vektorräumen. Schon bei der Frage was ein Vektorraum überhaupt ist, bin ich gerade recht überfordert. Wie ich das verstanden habe, ist ein Vektorraum eine Menge, deren Elemente (also die Vektoren selbst) sich addieren und skalar-multiplizieren lassen (da kann man doch sagen, es lassen sich mit den Elementen verschiedene Linearkombinationen erzeugen?). Aber wie bestimme ich überhaupt, welche Elemente (Vektoren) dem Vektorraum angehören, und welche eben nicht (Gruppe, Körper und Rechenoperationen?)? - Und was bringt mir das, wenn ich die Vektoren in eine Menge (Vektorraum) einordne? Und was hat es mit dem Satz: Vektorraum ist definiert durch abelsche Gruppe, Körper und Rechenoperationen? Was haben Untervektorräume (Teilmenge eines Vektorraums) für einen Sinn? - Ist ein Untervektorraum eines Basis? Da die Definition für Basis wie folgt lautet: Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraums.. (gleich wie bei Untervektorraum). Was bringen Basen? Und wie viele Vektoren enthält eine Basis des ? Wäre euch sehr dankbar wenn ihr die Antworten für Dummies schreibt. Danke euch. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Hallo, > ich tue mir gerade recht schwer mit Vektorräumen. > > Schon bei der Frage was ein Vektorraum überhaupt ist, bin ich gerade recht überfordert. > Wie ich das verstanden habe, ist ein Vektorraum eine Menge, deren Elemente (also die Vektoren selbst) sich addieren und > skalar-multiplizieren lassen (da kann man doch sagen, es lassen sich mit den Elementen verschiedene > Linearkombinationen erzeugen?). Ja, man definiert i.a. einen Vektorraum über Axiome, die erfüllt sein müssen. Das sind u.a. Rechengesetze, aber die Existenz spezieller Elemente, die global oder in Bezug auf wenigstens ein anderes Element eine spezielle Bedeutung haben (Nullvektor, Gegenvektor). >Aber wie bestimme ich überhaupt, welche Elemente (Vektoren) dem Vektorraum angehören, und welche eben nicht (Gruppe, > Körper und Rechenoperationen?)? - Und was bringt mir das, wenn ich die Vektoren in eine Menge (Vektorraum) einordne? Hm, schwierige Frage. Typisch mathematische Vorgehensweise ist die in sich abgeschlossene Präsentation eines sich über längere Zeit etablierten Wissens. Zunächst bekommst du die Definition eines Vektorraums an den Kopf geklatscht. Oft ohne viele Worte der Motivation. Dann werden die Eigenschaften eines Vektorraums herausgearbeitet. Diese Eigenschaften (in Form von Sätzen, Lemmata, etc) sind es, die die Vektorräume anwendbar machen. Anwendungen finden sich zuhauf. So bilden z.b. die Lösungen linearer, homogener(!) Gleichungssysteme Vektorräume. Ähnlich verhält es sich mit den Lösungen homogener linearer DGLn. Schon allein deretwegen hat sich die Untersuchung der Eigenschaften von Vektorräumen gelohnt (würden sicher viele Physiker sagen). Mit Vektorräumen kann (euklidische) Räume und entschrechende Abbildungen beschreiben. Da kommen dann Matrizen ins Spiel. Eine geeignete Wahl einer Basis kann eine Abbildung weniger kompliziert erscheinen lassen. Alles in allem: Vektorräume bilden eine sehr grundlegende Struktur, die in vielen anderen Bereichen der Mathematik Anwendung findet. Schülern würde ich sagen, dass man sie nicht im Supermarkt benötigt... > Und was hat es mit dem Satz: Vektorraum ist definiert durch abelsche Gruppe, Körper und Rechenoperationen? Hm, da ist was dran (an dem Satz), aber ich erkenne nicht wirklich, worauf du hinaus willst. > Was haben Untervektorräume (Teilmenge eines Vektorraums) für einen Sinn? Siehe dazu oben! > Ist ein Untervektorraum eines Basis? Nein! Eine Basis besteht aus linear UNABHÄNGIGEN Vektoren. Ein Untervektorraum dagegen muss zwangsläufig den Nullvektor enthalten, der allein (als einziger Vektor) NICHT linear unabhängig ist. > Da die Definition für Basis wie folgt lautet: Basis ist eine Teilmenge eines Vektorraums.. (gleich wie bei Untervektorraum). Nun, das wird schon noch häufiger passieren, dass man Teilmengen von Vektorräumen benötigt. Deshalb sind diese nicht zwangsläufig selbst Vektorräume. > Was bringen Basen? Basen sind kompakter (im Sinne von handlicher, kleiner) als ganze Räume. Aus einer Basis kann ich ja durch Linearkombination andere Vektoren "kombinieren". Dabei bleiben manchmal Eigenschaften (der Basismitglieder) erhalten. In dem Sinne sind Basen eben günstiger. So brauche ich z.b. bei linearen Abbildungen nur die Bilder der Basisvektoren zu kennen, um die Bilder beliebiger Vektoren zu berechnen. > Und wie viele Vektoren enthält eine Basis des Rn? Na, genau Elemente. > Wäre euch sehr dankbar wenn ihr die Antworten für Dummies schreibt. Danke euch. Hast du (insbesondere im Hinblick auf deine Informationsautonomie) mal gegooglet? Die Wikipedia-Artikel sind in diesem Zusammenhang doch schon mal Anfänge?! Mfg Michael EDIT: Struktur geändert |
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So, dankeschön erstmal. Kann mir die Definition vom Vektorraum auch mit Hilfe von verschiedenen Lernvideos jetzt besser bildlich vorstellen. Eine Frage bleibt da noch offen. In der Definition habe ich stehen: "Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente (Elemente in dem Fall Vektoren) sich addieren und skalar-multiplizieren lassen ..." Jetzt frage ich mich, warum hier die Vektor Subtraktion außen vor gelassen wird, kann man mir das erklären? Bzw. Warum sind die einzigen arithmetischen Operationen die ich tätigen kann wenn man von einem Vektorraum spricht die Multiplikation mit einem Skalar und die Addition? |
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wenn du einen Vektor von einem Vektor a subtrahierst, ist es doch dasselbe wie wenn du den Vektor zum Vektor a addierst. Wenn in einem Vektorraum enthalten ist, ist auch in ihm enthalten. Also ist es gar nicht notwendig gesondert die Subtraktion einzuführen, da sie sich mit der Addition ausdrücken lässt. oder |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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