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Vektorterm vereinfachen

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Vektoren, Vektorterm, Vereinfachen

BlargImDed aktiv_icon

17:34 Uhr, 07.03.2012

Hallo, Leute.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich folgenden Vektorterm vereinfachen könnte?

a x (b - c) + (b + c) x (a - c) - (a - b) x (c + b)

Über den Buchstaben sind Vektorpfeile, wusste grad nicht wie ich sie einfüge.

Das

x

meint das Kreuzprodukt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

01:55 Uhr, 08.03.2012

http//de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Unter dem Abschnitt Eigenschaften findet sich manches, das Deiner Aufgabenstellung ähneln könnte ...

KalleMarx aktiv_icon

03:14 Uhr, 08.03.2012

Moin BlargImDed!

Zunächst zum TeX-Code hier im Editor:
1. Den Vektorpfeil erhälts Du mit dem Befehl \vec a. Sollen mehrere Zeichen unter dem Pfeil stehen, müssen geschweifte Klammern gesetzt werden: \vec{ab}.
2. Das Zeichen für das Kreuzprodukt erhält man mit \times.

Damit schreiben wir das Kreuzprodukt der Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

wie folgt: \vec a\times \vec b.

Nun zu Deiner Aufgabe:
Dafür benötigst Du drei Rechenregeln, die im von pleindespoir verlinkten Artikel enthalten sind:

1. Distributivgesetz - das Kreuzprodukt ist
linksdistributiv:

\vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c}

und
rechtsdistributiv:

(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{a}

.

2. Kommutativgesetz - das Kreuzprodukt ist
antikommutativ:

\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}

.

3. Das Kreuprodukt eines Vektors mit sich selbst ist
der Nullvektor:

\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}

.

Die zweite Regel besagt, daß es - im Gegensatz zum Skalarprodukt - nicht egal ist, wierum zwei Vektoren miteinander kreuzmultipliziert werden.

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{a}

gilt ausschließlich dann, wenn

\vec{a} = \vec{b}

, doch dann ist das Ergebnis ja der Nullvektor (langweilig).

Aus der 1. und der 2. Regel folgern wir:

\vec{a} \times (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a}

= \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{a}

= \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}

= 0

.
Vor allem diese Umformungen sind es, die Du für die Aufgabe benötigst. Der Nullvektor taucht auch zweimal auf. Wenn Du den Term weitestgehend vereinfachst, erhältst Du:

(3 \vec{c} + \vec{b}) \times \vec{a}

.

Gruß - Kalle.

BlargImDed aktiv_icon

19:05 Uhr, 08.03.2012

Vielen Dank euch beiden. Vor allem dir, Kalle. :-)

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