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Verallgemeinerte Doob Martingale Eigenschaft

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Doob Martingale, Erwartungswert, Independence, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Weidendorf aktiv_icon

08:59 Uhr, 16.10.2024

S e t u p .

Sei

(Ω, ℱ, ℙ)

ein Wahrscheinlichkeitsraum und

X, Y

Zufallsvariablen die jeweils in messbare Räume

(E_{1}, Σ_{1})

und

(E_{2}, Σ_{2})

abbilden. Weiters sei

ℋ \subseteq ℱ

eine sub-

σ

-algebra mit

σ (X) \subseteq ℋ

und wir nehmen an das

σ (Y)

und

ℋ

unabhängig sind. Letzlich sei

h : E_{1} \times E_{2} \to R^{d}

Lebesgues-integrierbar.

F r a g e .

Gilt

E [h (X, Y) ∣ X] = E [h (X, Y) ∣ ℋ]

fast sicher?

B i s h e r i g e r

B e w e i s

V e r s u c h .

Aufgrund von

σ (X) \subseteq ℋ

ist

E [h (X, Y) ∣ X]

bereits

ℋ

messbar, daher reicht es zu zeigen dass, für alle

A \in ℋ

E [E [h (X, Y) ∣ X] 1_{A}] = E [h (X, Y) 1_{A}],

wobei

1

die standard Indikator Funktion ist. Jetzt wenden wir (1, Example 4.1.9) an und erhalten

E [E [h (X, Y) ∣ X] 1_{A}] = E [g (X) 1_{A}]

,

wobei

g (x) = E [h (x, Y)]

. Weiters

E [g (X) 1_{A}] =

\int g (X (ω)) 1_{A} (ω) d ℙ (ω) =

\int \int h (X (ω), Y (υ)) d ℙ (υ) 1_{A} (ω) d ℙ (ω)

,

aber hier komme ich nicht mehr weiter. Meine Idee wäre

A

in einen "messbaren" (bzgl

σ (X)

) und einen "unabhängigen" (von

X

) Teil aufzuspalten, und dann über die jeweiligen Marginales integrieren. Das könnte man z.B. mit

E [1_{A} ∣ X]

und

(1_{A} - E [1_{A} ∣ X])

probieren, aber die sind leider nicht unabhängig.

Wäre über jede Hilfe sehr dankbar.

L i t e r a t u r .

(1) R. Durrett. Probability: Theory and Examples. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge University Press, 5 edition, 2019.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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