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Verband: Homomorphismus zeigen
Universität / Fachhochschule
Tags: Homomorphismus, Verband
 
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Hallo zusammen, habe eine Aufgabe vorliegen, bei der nachgewiesen werden soll, ob es sich bei der Abbildung zwischen zwei Verbänden um einen Infimums/Supremums-Homomorphismus handelt. Da die Beweise äquivalent verlaufen dürften, gehe ich mal nur vom Inf-Homo aus. Die Begrifflichkeiten sind mir jeweils klar. Es geht mir eher darum, wie ich dies in einem allgemeinen Fall nachweise. Bisher kannte ich es nur bei "konkret bekannten" Verbänden (vgl. Grafik . Dort prüft man die verfügbaren Fälle einfach über Umformungen durch, aber das ist in diesem Fall auf den natürlichen Zahlen ja nicht möglich. Was muss ich in diesem Fall also tun? Mir ist klar, es muss gezeigt werden: inf inf Als Ansatz habe ich bisher leider nur: inf inf und inf inf Letzteres muss nun ja aus ersterem per Umformung gefolgert werden...   |
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Schade, hat niemand einen Ansatz für mich? |
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Hallo, in der ersten Aufgabe ist die Ordnungsrelation die Teilbarkeit. Daher ist . Nimm z.B. und . Gruß ermanus |
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Ah ich verstehe! Mir fehlte der Stichpunkt, dass ich mir ein allgemein gültiges infimum / supremum suchen muss... Mensch, eigentlich ganz logisch! Wie bringe ich denn das noch mit rein? Schreibe ich das einfach jeweils mit dazu? . muss das später mal auf Papier ausprobieren, vmtl geht dadurch irgendwas kaputt und es lässt sich ein Gegenbeispiel konstruieren... |
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ist ein Gegenbeispiel. |
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Nabend! Dann erhalte ich folgendes, korrekt? inf inf inf (?) |
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So ist es :-) |
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Super, danke dir! Habe noch ein weiteres Beispiel gefunden (siehe Grafik). In dem Fall besteht der 1. Verband wieder aus ggT/kgV, der 2. dürfte ja einfach eine lineare Ordnung sein? Natürliche Zahlen, inklusive unendlich und . Verstehe ich das bis dahin richtig? Mein Problem: Ich verstehe noch nicht, wie genau zwischen den beiden Verbänden abgebildet wird. Also: Was verändert sich dadurch, dass der 2. Verband anders definiert ist als der ? Ansatz: inf inf inf  |
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Hallo, zunächst zu a): du sollst zeigen, dass aus folgt: . Gruß ermanus |
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Genau, bei der soll ein Infimums-Homomorphismus gezeigt werden, denn jeder Inf-Homo. ist ein Ordnungs-Homo., soweit klar ;-) Nun irritiert mich jedoch deine Notation: Muss nicht wieder auf beide Seiten angewendet werden? Du siehst: Die Begrifflichkeiten sind mir meist klar, ich hadere mit dem genauen Verständnis der Aufgabenstellung. Mal entsprechend deiner Vorgabe: Falsch |
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Verstehe dein Problem nicht ... Es ist doch viel simpler als du es dir vorstellst. . In Worten: "wenn 6 ein Teiler von 12 ist, dann ist 6 kleiner oder gleich 12". |
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Habe meinen Beitrag nachträglich angepasst, sorry ;-) |
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Oh, richtig... ich habe als gelesen, das ist natürlich Quatsch. Das habe ich nun soweit verstanden. Nun frage ich mich: Wo kommt zum Tragen? |
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Nun für alle . Wie sieht as aber für aus. Gilt auch hier ? |
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In dem Fall gilt dann unendlich das ist natürlich falsch. Somit wäre es ein Supremums-Homomorphismus, denn unendlich gilt natürlich. |
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Guck doch noch mal genau hin !!! |
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Bemerke grad: Habe den Begriff Ordnungs-Homo. falsch verstanden... Werde das Skript dazu noch einmal studieren und mich dann erneut melden! Danke schonmal für dein Bemühen! |
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Prima ! |
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So! Nun nochmal in Ruhe. Ich hatte die Definition von Ordnungs-Homo. missverstanden. Es muss ja gelten: Ausgegangen war ich aber von: Dies entspräche aber einem Infimums-Homo., korrekt? Das möchte ich nochmal auf die von oben bekannte Aufgabe übertragen (siehe Grafik), dann liegt doch ein Ordnungs-Homo. vor? Denn es gilt zB 2 ggt ggt ggt Ist es so richtig? Bzw. genügt das schon? Mir ist nicht klar, wie man es im allgemeinen Fall beweist. Ein Widerlegen könnte ja über ein Gegenbeispiel erfolgen.  |
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Hallo, das ist ein ziemliches Formal-Chaos ;-) Was hat denn der ggT mit der Ordnungsrelation zu tun? Du musst doch nur prüfen, ob im Falle auch erfüllt ist. Irgendwie bringst du die zwei ganz verschiedenen Strukturen Verband und (Halb-)Ordnung ducheinander. Dass man unter geeigneten Umständen aus einem Verband eine (halb-)geordnete Menge machen kann und aus einer (halb-)geordneten Menge einen Verband machen kann, stimmt zwar, aber deswegen sind sie doch nicht dasselbe. |
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Servus! Auf ggT komme ich, weil ich mich wieder auf die obige Aufgabe beziehe, habe sie nochmal als Bild an meinen letzten Post angehängt. Und da galt ja: |
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Bei einem Ordnungshomomorphismus muss ich doch aber gar nichts über irgendwelche ggT's oder kgV's oder inf's oder sup's wissen. Ich muss doch nur wissen, wie die Ordnungsrelation "" definiert ist und für die zu untersuchende Abbildung prüfen, ob gilt. Im Beispiel ist als "|" (Teiler von) definiert. |
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Ok jap... nach nochmaligem Durchsehen habe ich das nun verstanden, danke! Offen für mich noch: Wie zeige ich sup/inf-Homo. hier im allgemeinen Falle? Ein beliebiges Beispiel lässt sich zeigen, aber das ist dann ja nicht allgemeingültig. |
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Schade, niemand? |
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