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Vereinfachte Normalenform zu Parameterform

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Normalenform, Parameterform

ntewurzel

18:50 Uhr, 14.12.2018

In einer Übung wurde gefragt, wie man von der vereinfachten Normalenform in die Paramaterform wechselt, das Vorgehen ist mir bekannt aber ich habe ein Problem bei der Interpretation der Lösung.

Gegeben: Vereinfachte Normalenform einer Ebenengleichung:

[\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] + 12 = 0

Dann kann man relativ einfach die Koordinatenform herausbekommen:

- 4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} + 12 = 0

In der Lösung steht nun folgende Variante:

Aufstellen einer Gleichung mit 3 Unbekannten (nach

x_{1}

auflösen):

x_{1} = 3 - \frac{1}{2} \cdot s + t

x_{2}

und

x_{3}

wurden durch

s

bzw.

t

ersetzt, da sie freie Variabeln sind.
Daher gilt:

x_{2} = s

und

x_{3} = t

womit jetzt die Vektoren für die Parameterform gebildet werden können

\vec{x} = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + s \cdot [\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] + t \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

Wenn ich nun aber eine andere Variante verwende, indem ich zuerst mittels der Koordinatenform 3 Punkte finde die auf der Ebene liegen komme ich auf eine andere Lösung

Aus Koordinatenform:

- 4 \cdot x_{1} - 2 \cdot x_{2} + 4 \cdot x_{3} + 12 = 0

folgen die drei folgenden Punkte, die alle auf der Ebene liegen:

p_{1} = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], p_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}], p_{3} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}]

Aus diesen drei Punkten sollte sich nun die Parameterform berechnen lassen:

Stützvektor:

\vec{p_{1}}

Richtungsvektoren:

\vec{p_{2} p_{1}}

und

\vec{p_{3} p_{1}}

Daraus ergibt sich die folgende Parametergleichung:

\vec{x} = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + s \cdot [\begin{matrix} - 3 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}] + t \cdot [\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ - 3 \end{matrix}]

Wenn ich diese beiden Parameterformen nun mit WolframAlpha plotte kommen zwei verschiedene Ebenen heraus.

Nun stellt sich mir die Frage, ob diese zwei Parametergleichungen wirklich nicht äquivalent sind und wenn ja wieso.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

ledum aktiv_icon

19:36 Uhr, 14.12.2018

Was die wolfram geplottet hat weiss ich nicht, ich würde für so was geogebra

3 d

verwenden.
die beiden Ebenengleichungen sind dieselbe Ebene wenn du in der ersten statt

s 6 s

und statt

t (- 3 t)

einsetzt.
Gruß ledum

ntewurzel

20:43 Uhr, 14.12.2018

Vielen Dank für die Antwort und den Tipp mit GeoGeobra

3 d

.

Die erste Ebenengleichung wird folgendermassen geplottet: www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot++(3,0,0)+%2B+s+*+((-1%2F2),+1,+0)+%2B+t+*+(1,0,1)

Die zweite: www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plot++(3,0,0)+%2B+s+*+(-3,+6,+0)+%2B+t+*+(-3,0,-3)

Wenn ich dich richtig verstehe sind die beiden Ebenen ohne Anpassung nicht äquivalent.

Das wirft nun aber eine neue Frage auf: Beide Verfahren sind doch korrekt - jetzt habe ich aber zwei Resultate die unterschiedlich sind (unterschiedliche Ebenen produzieren) und somit nicht beide korrekt sein können.

Das Ziel ist es ja, dass die Ebene die gleiche bleibt wenn man die Umformung Koordinatenform

\to

Parameterform durchführt - was aber offensichtlich nicht der Fall ist.

Demnach müsste doch eine Lösung falsch sein?

Roman-22

20:54 Uhr, 14.12.2018

Beide Parameterdarstellungen stellen die gleiche Ebene dar.
Dein Problem liegt vl darin, das du in beiden Darstellugnen die Parameter gleich benannt hast.
Natürlich erhältst du verschiedene Punkte (aber der gleichen Ebene) wenn du zB in die erste Gleichung

s = t = 1

einsetzt und

s = t = 1

in die zweite.

Wenn du in die erste Gleichung

s = t = 1

einsetzt, so müsstest du in die zweite Gleichung

s = \frac{1}{6}

und

t = - \frac{1}{3}

einsetzen, um den gleichen Ebenenpunkt zu erhalten.

Benutzt man beide Gleichungen parallel, so sollte man die Parameter daher besser unterschiedlich benennen.

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