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Vereinigung abgeschlossener Mengen
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Mengentheoretische Topologie
Tags: abgeschlossene Menge, Abschluss, Folgen, Mengenlehre, Mengentheoretische Topologie, Reihen, Vereinigungsmenge
 
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Hallo! Ich möchte beweisen: Der Abschluss von A vereinigt mit der Abschluss von A vereinigt mit dem Abschluss von B. Hierzu beweise ich: Der Abschluss von vereinigt mit ist Teilmenge des (Abschlusses von vereinigt mit dem (Abschluss von . und: Der Abschluss von A vereinigt mit dem Abschluss von ist Teilmenge vom Abschluss von A vereinigt mit B. Der Abschluss von A ist eine Teilmenge vom Abschluss von vereinigt mit und der Abschluss von ist eine Teilmenge vom Abschluss von vereinigt mit . Daraus folgt die Behauptung Wie gehe ich nun an? Ich dachte mir irgendwas mit: Es existiert eine Folge aus die gegen im Abschluss von konvergiert und es existiert eine Teilfolge die in A liegt und gegen a im Abschluss von A konvergiert ( oder gleiches für eine Folge . Damit komme ich allerdings überhaupt nicht weiter und ich sitze schon mehrere Tage davor! Kleine Tipps habe auch nicht zur Erleuchtung geführt. Bitte helft mir!! Danke! Liebe Grüße Maria Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hi, darf ich fragen, in welchem Zusammenhang diese Aufgabe aufkommt? Geht es um Mengen im oder in einem metrischen Raum, oder hast du gar "nur" eine Topologie gegeben? Wenn ja, muss man das dementsprechend bei der Betrachtung einer Folge berücksichtigen... Nun, prinzipiell würde ich es mit einer Fallunterscheidung machen. Nimm ein . Entweder ist (dann ist es offensichtlich), oder . Dieser Fall ist schwieriger. Aber ich würde dann versuchen, eine Folge in zu konstruieren, die gegen x konvergiert. Zu dieser Folge gibt es dann auf jeden Fall eine Teilfolge in oder in , die ebenfalls gegen konvergiert. Und da und abgeschlossen sind, liegt dementsprechend auch darin... Aber auch die andere Richtung ist nicht ganz so einfach. Meiner Meinung nach ist nicht unbedingt sofort klar, warum gelten sollte... Auch hier solltest du dir eine entsprechende Begründung einfallen lassen. Lieben Gruß Sina |
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Es geht im Kapitel um die reellen Funktionen einer Veränderlichen. Sei eine Teilmenge von R. Ein Punkt der nicht notwendigerweise in liegt, heißt Adhärenzpunkt von wenn es mindestens eine Folge aus gibt, die gegen konvergiert. Wir bezeichnen die Menge aller Adhärenzpunkte einer Menge als(von mir Abschluss von genannt, etwas unexakt wohl )abgeschlossene Hülle von D. eine Teilmenge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Adhärenzpunkte enthält, wenn abgeschlossene Hülle von D. Dankeschön! Maria |
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Nun, es ist genauso üblich es Abschluss zu nennen, wie abgeschlossene Hülle, davon lassen wir uns nicht aufhalten :-) Aber das macht das ganze ja relativ einfach. ist also die Menge aller Adhärenzpunke von . D.h. für alle gibt es eine Folge mit , die gegen konvergiert. Du brauchst die Folge also gar nicht mehr konstruieren. Jetzt denk mal über die Teilfolgen einer solchen Folge nach. |
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Vielen lieben Dank! Ich dachte mir, dass die Teilfolgen gegen dieselben Punkte wie konvergieren müssen, also eine Teilfolge aus A oder eine Teilfolge aus B. . aber anscheinend stimmt das nicht . dass es irgendwas mit Folge und Teilfolge ist, das habe ich ja oben schon mit meiner Beweisidee gemeint und deswegen bin ich ja so verwirrt ;-) ich weiß eben nicht, was da mit den Teilfolgen passieren soll . WAH! lieben Gruß Maria |
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Aber klar doch, wenn eine Folge gegen einen Punkt konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge gegen diesen Punkt. Ein zentraler Satz der Folgentheorie ;-) |
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Danke! Also genügt als Beweis, dass eine Teilfolgen aus A oder aus gegen konvergieren? Dann ist Adhärenzpunkt von A vereinigt mit und auch von A und auch von B. Ist die Aussage dann schon bewiesen? |
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Nun, ist dann Adhärenzpunkt von A oder von B, aber nicht zwangsläufig in A oder in B. Und es ist dann nur die eine Richtung gezeigt , aber noch nicht die andere Richtung. |
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Danke! Ich dachte: Der Abschluss von A ist eine Teilmenge des Abschlusses von A und und der Abschluss von ist eine Teilmenge des Abschlusses von A und also ist der Abschluss von A vereinigt mit dem Abschluss von eine Teilmenge vom Abschluss von der Vereinigung von A und B. Dann: Es existiert eine Folge aus die gegen als Element des Abschlusses von konvergiert. Es existiert eine Teilfolge von aus A oder eine Teilfolge von aus welche auch gegen konvergieren. Also ist Adhärenzpunkt von A oder B. Damit ist der Abschluss von A vereinigt mit eine Teilmenge vom Abschluss von A vereinigt mit dem Abschluss von B. Jetzt . ? |
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Nun, alles was hinter dem "dann" steht ist soweit richtig. Aber du musst noch zweigen, dass ist, bzw. dasselbe für die Menge . Das ist nicht sofort klar. Natürlich stimmt die Aussage, aber die Aufgabe ist es, sie zu zeigen :-) Aber letztendlich setzt du einfach die Definitionen für die Adhärenzpunkte und abgeschlossenen Mengen ein und du hast den Beweis... Viel zu zeigen oder zu überlegen gibt es da nicht... |
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Danke! Naja, dann gibt es eine Folge aus die gegen welches Element vom Abschluss von A ist, konvergiert. Also ist auch in der Vereinigung von A und und konvergiert gegen welches auch Element vom Abschluss von A und ist. Also liegen alle a Element vom Abschluss von A im Abschluss der Vereinigung von A und B. Analog dann der Beweis vom Abschluss von als Teilmenge vom Abschluss der Vereinigung von A und . oder? |
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Ja, genau so ist es :-) |
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Vielen lieben Dank für die "Geburtshilfe" :-) Hat mir wirklich sehr geholfen! Liebe Grüße Maria |
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