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Vereinigung von Untervektorräumen?

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Teilmengen, Untervektorraum, Vektorraum, Vereinigung, Vereinigungsmenge

Dreemer aktiv_icon

14:26 Uhr, 05.11.2017

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, die Untervektorräume betrifft. In diesem Fall habe ich das Gefühl, dass richtige Ergebnis zu haben, aber weiß gleichzeitig auch nicht, wie ich das zu Papier fassen will, ohne dabei mögliche Fehler in der Formulierung zu machen. Erstmal zur Aufgabe:

Es seien

U_{1}

und

U_{2}

lineare Unterräume von

ℝ^{n}

. Zeigen Sie:

Genau dann ist

U_{1} \cup U_{2}

ein linearer Unterraum, wenn

U_{1} \subset U_{2}

oder

U_{2} \subset U_{1}

gilt.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Mein Lösungsansatz:

(\Rightarrow)

Seien

U_{1}

und

U_{2}

lineare Unterräume und

U_{1} \cup U_{2}

ebenfalls ein linearer Unterraum.
Widerspruchsannahme: Dabei gilt weder

U_{1} \subset U_{2}

noch

U_{2} \subset U_{1}

.
Wenn diese Annahme erfüllt ist, gibt es ein Element

v_{1} \in U_{1}

mit

v_{1} \notin U_{2},

ebenso gibt es ein Element

v_{2} \in U_{2}

mit

v_{2} \notin U_{1}

. Es gilt aber:

v_{1}, v_{2} \in U_{1} \cup U_{2}

.
Da

U_{1} \cup U_{2}

ein linearer Unterraum ist, muss wegen den Bedingungen eines linearen Unterraums

v_{1} + v_{2} \in U_{1} \cup U_{2}

liegen.
Da

v_{1} \in U_{1},

ist auch

- v_{1} \in U_{1},

sodass auch gelten muss:

(v_{1} + v_{2}) + (- v_{1}) = v_{2} \in U_{1}

. Das ist aufgrund der Wahl von

v_{2}

nicht möglich, sodass gilt:

(v_{1} + v_{2}) \notin U_{1}

.
Analog ist auch zu zeigen, dass

(v_{1} + v_{2}) \notin U_{2}

.
Damit ist

(v_{1} + v_{2})

weder ein Element aus

U_{1}

noch von

U_{2},

sodass

(v_{1} + v_{2}) \notin U_{1} \cup U_{2}

gilt.
Die Annahme, dass weder

U_{1} \subset U_{2}

noch

U_{2} \subset U_{1}

gilt, führt zu einem Widerspruch.

Folglich muss

U_{1} \subset U_{2}

oder

U_{2} \subset U_{1}

gelten.

(\Leftarrow)

Wenn

U_{1} \subset U_{2}

oder

U_{2} \subset U_{1}

gilt und

U_{1}

und

U_{2}

lineare Unterräume sind, muss entsprechend gelten, dass

U_{1} \cup U_{2}

ein linearer Unterraum ist.

Passt der Beweis soweit oder habe ich was übersehen?

Liebe Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

ledum aktiv_icon

13:13 Uhr, 06.11.2017

Hallo
richtig, beim 2 ten Teil würde ich noch schreiben dass die Vereinigung =U^bzw

U 2

ist und deshalb Kin UR
Gruß ledum

Dreemer aktiv_icon

15:15 Uhr, 06.11.2017

Hallo,

dann ist ja alles klar. Danke dir für die Rückmeldung.

Liebe Grüße.

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