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Vereinigung von Untervektorräumen

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Vektorräume

Tags: Untervektorräume, Vektorraum

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23:43 Uhr, 24.09.2012

Ihr Lieben,

in 2 Tagen steht die Klausur vor der Tür und ich habe da noch ein paar Fragen:

Also, im Skript werden noch weitere Beispiele für einen Untervektorraum genannt unter der Voraussetzung:

Ist (V,+,.) ein R_Vektorraum mit neutralem Element 0, so ist

- mit U1 und U2 auch der Schnitt ein Untervektorraum von (V,+,.) (Warum?)

Die im Skript gestellte Frage: ist auch die Vereinigung vonm U1 und U2 ein Untervektorraum, wenn U1 und U2 je einer ist? (Ich weiss es ist keiner, aber ich weiss nicht warum?)

Kann mir das BITTE jemand erklären?

Sina86

23:57 Uhr, 24.09.2012

Hi,

möchtest du das mit dem Schnitt auch wissen? Dies ist eine allgemeine Aussage, die muss natürlich bewiesen werden.

Der zweite Punkt ist die Negation einer Aussage, da reicht ein Gegenbeispiel. Schau dir z.B. das Beispiel

V = ℝ^{2}

an und

U_{1} := {(x, y)^{T} \in ℝ^{2} ∣ x = y}

und

U_{2} := {(x, y)^{T} \in ℝ^{2} ∣ x = - y}

. Dies sind Untervektorräume. Dann nimm dir zwei nicht-triviale Vektoren, z.B.

(1, 1)^{T} \in U_{1}

und

(1, - 1)^{T} \in U_{2}

. Dann ist die Addition

(2, 0)^{T} \notin U_{1}, U_{2}

. Also ist

U_{1} \cup U_{2}

bzgl der Addition von Vektoren nicht abgeschlossen. Dies ist natürlich nicht das einzige Gegenbeispiel, das es gibt!

Es geht übrigens immer an der Addition schief, die Multiplikation mit einem Skalar funktioniert und additive Inverse und neutrales Element gilt auch immer. Zudem gelten auch die Rechengesetze, die man in einem VR benötigt. Also kann es nur an der Addition scheitern.

Im Allgemeinen gibt es sogar einen Satz:
Ist

V

ein

K

-VR und

U_{1}, U_{2} \subseteq V

Untervektorräume, so gilt

U_{1} \cup U_{2}

ist ein Untervektorraum, genau dann wenn

U_{1} \subseteq U_{2}

oder

U_{2} \subseteq U_{1}

.

Und gerade dies ist im obigen Gegenbeispiel nicht erfüllt.

Lieben Gruß
Sina

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00:25 Uhr, 25.09.2012

Vielen Dank!

Der Schnitt wäre auch super ;-)))

Sina86

00:33 Uhr, 25.09.2012

Nun, wenn

U := U_{1} \cap U_{2}

ist, und

0_{V} \in V

das Nullelement, dann ist zu zeigen:
1.)

0_{V} \in U

2.)

\forall a, b \in U : a + b \in U

3.)

\forall a \in U, λ \in K : λ a \in U

Jeder Untervektorraum von

V

enthält

0_{V}

. Also auch

U_{1}

und

U_{2}

. Somit ist das Nullelement auch im Schnitt enthalten.

Ist nun

a \in U

, so ist

a \in U_{1}

UND

a \in U_{2}

. Jetzt nehme ich ein beliebiges

λ \in K

, dann ist (

U_{1}, U_{2}

sind UVR)

λ a \in U_{1}

UND

λ a \in U_{2}

. Also

λ a \in U

.

Den zweiten Punkt lass ich dir mal zur Übung, geht aber ähnlich wie der dritte Punkt ;-) Nur Mut!

Gruß!

Bummerang

09:48 Uhr, 25.09.2012

Hallo,

bei der Vereinigung zweier Unterräume

U_{1}

und

U_{2}

gilt nur dann, dass

U_{1} ⋃ U_{2}

kein Unterraum ist, wenn weder

U_{1} \subseteq U_{2}

noch

U_{2} \subseteq U_{1}

gilt! Das sollte man mindestens erwähnen! Dass

U_{1} ⋃ U_{2}

sonst ein Unterraum ist, ist trivial, da dann

U_{1} ⋃ U_{2} = U_{1}

oder

U_{1} ⋃ U_{2} = U_{2}

gilt und sowohl

U_{1}

als auch

U_{2}

nach Voraussetzung Unterräume sind.

satz1 aktiv_icon

14:33 Uhr, 20.02.2016

Aber die Basis von

U 1

wäre (1,1)transformiert. und die basis von

U 2

wäre (1,-1)transformiert.
die basis der Vereinigung also:

(1,1); (1, - 1)

Den Vektor

(2,0)

könnte ich also als Linearkombination der Basiselemente der Vereinugung darstellen, also ist er teil der Vereinigung, oder?

IPanic aktiv_icon

14:54 Uhr, 20.02.2016

Ein Erzeugendensystem von

U_{1} + U_{2}

(also der Summe zweier Untervektorräume) ist die Vereinigung der Basisvektoren aus

U_{1}

und

U_{2}

.

Die Vereinigung

U_{1} \cup U_{2}

selber ist hier kein Untervektorraum und hat somit keine Basis. Wäre

S = {(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})}

die Basis von

U_{1} \cup U_{2},

so müsste gelten

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) \in U_{1}

oder

(\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) \in U_{2}

. Das ist aber nicht so.

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