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Verhalten von z am Rand des Konvergenzkreises

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Folgen und Reihen

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Komplexe Zahlen

Tags: Folgen und Reihen, Funktionenreihen, Komplexe Zahlen

mmarschn aktiv_icon

22:30 Uhr, 27.12.2020

Hallo,

ich habe eine komplexe Potenzreihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot (\frac{z}{4})^{3 n}

gegeben und soll einmal den Konvergenzradius bestimmen und danach die Reihe für z=R und z=iR auf Konvergenz untersuchen.

Jetzt hab ich erstmal

{\frac{z}{4}}^{3}

substituiert und dann durch Resubstitution |z| < 4 für den Konvergenzradius erhalten.

Beim Verhalten am Rand des Konvergenzkreises bin ich mir jedoch nicht sicher, wie ich vorgehen soll.

Setze ich z=4 ein, erhalte ich

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot 1^{3 n}

, was divergieren sollte.
Für z=-4, bekomme ich

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot (- 1)^{3 n}

was nach Leibnitz konvergieren würde.

Jetzt habe ich aber eine Kreisscheibe und nicht einfach nur zwei Randpunkte. Kann ich da die bekannten Kriterien wie Leibnitz überhaupt benutzen? Und wie kann ich für alle Punkte auf der Kreisscheibe eine Aussage treffen, ob diese konvergieren oder nicht?

Könnte auch für |z| =

c o s (ϕ) + i s i n (ϕ)

einsetzen, aber dann weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen sollte.

Habe im Internet viel mit Taylorreihen usw. gefunden, aber das haben wir leider noch nicht behandelt.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

07:46 Uhr, 28.12.2020

"Könnte auch für |z| = cos(ϕ)+isin(ϕ) einsetzen, aber dann weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen sollte."

Richtig wäre

z = 4 (\cos (ϕ) + i \sin (ϕ))

und besser das in der Form

z = 4 e^{i φ}

zu schreiben.
Dann bekommst du die Reihe

\sum_{n} \frac{1}{\sqrt{n}} e^{3 i n φ} = \sum_{n} \frac{1}{\sqrt{n}} (\cos (3 n φ) + i \sin (3 n φ))

, die man als Summe von Reihen betrachten kann:

\sum_{n} \frac{\cos (3 n φ)}{\sqrt{n}} + i \sum_{n} \frac{\sin (3 n φ)}{\sqrt{n}}

.

Die zweite Reihe konvergiert immer:
math.stackexchange.com/questions/1215465/showing-sum-frac-sinnxn-converges-pointwise

Die erste Reihe konvergiert, wenn

φ

nicht

0

oder

2 π

etc.:
math.stackexchange.com/questions/2171115/when-will-series-sum-limits-n-1-infty-frac-cos-nxn-converge

Damit hast du für deine Reihe Konvergenz am Rand außer im Punkt

z = 4

.

.

abakus

09:41 Uhr, 28.12.2020

www.mathelounge.de/788422/konvergenzverhalten-von-z-am-rand-des-konvergenzkreises

Mathe45

09:57 Uhr, 28.12.2020

Sicher hilft dir das :
matheplanet.com/default3.html?call=viewforum.php?forum=-2&ref=https%3A%2F%2F

ermanus aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.12.2020

Übrigens:
es wurde nur nach dem Randverhalten für

z = R

und
für

z = i R

, also in den Punkten

4

und

4 i

gefragt.
Gruß ermanus

mmarschn aktiv_icon

15:53 Uhr, 28.12.2020

Ok, erstmal vielen Dank für die Antworten.

Stimmt, da habe ich mich ablenken lassen, es sollen nur die Fälle z=R und z=iR behandelt werden. Die Umformung ganz oben habe ich auch so nochmal nachvollzogen. Für z=4i erhalte ich dann konkret

\sum \frac{c o s (3 n * \frac{π}{2})}{\sqrt{(} n)} + i * \sum \frac{s i n (3 n * \frac{π}{2})}{\sqrt{(} n)}

Was ich noch nicht nachvollziehen kann, ist warum das Ganze konvergiert. Dirichlet haben wir noch nicht behandelt, gibt es da noch eine andere Möglichkeit zu argumentieren? Ich weiß, dass sin und cos beschränkt sind, könnte man dann mit einer Majorante abschätzen?

Obwohl ich da dann gerade eher auf Divergenz tippen würde.

DrBoogie aktiv_icon

22:02 Uhr, 28.12.2020

Für

z = 4 i

ist die Sache viel einfacher, denn

i^{n} = \pm 1

oder

\pm i

.
Konkret wenn wir

n

durch

4

mit Rest teilen:

n = 4 k + l

, dann gilt

i^{n} = i^{l}

.
Damit für

n = 4 k

bekommen

1

, für

n = 4 k + 1

bekommen

i

, für

n = 4 k + 2

bekommen

- 1

und für

n = 4 k + 3

bekommen

- i

.
Damit hat man

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{i^{n}}{\sqrt{n}} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{2 k}} + i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{\sqrt{2 k + 1}}

und beide Reihen konvergieren nach Leibnitz.

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