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Verkettung f o g g o f

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen, Verkettung zweier Abbildungen

Sandra86 aktiv_icon

15:02 Uhr, 29.10.2009

Edit: Ich hab gerade gesehen, dass kurz vor mir jemand genau dieselbe Aufgabe gestellt hat. Vielleicht meinen Beitrag dahinverschieben oder so? :-)

Hallihallo,

hab hier über oberprima hingefunden. Hoffe ihr könnt mir helfen:

Wir haben eine Aufgabe zu Abbildungen bekommen. Ich kann mir darunter eigentlich nichts vorstellen. Ich habe unseren Dozenten so verstanden, dass ein Punkt in einem anderen Punkt abgebildet wird. Als Beispiel hatte er in seiner Vorlesung zwei Funktionen, die er miteinander als fog und gof verkettet hat. Nun haben wir aber eine Aufgabe bekommen, in der keine Funktionen angegeben sind, sondern nur

x

und

y -

Werte.

Die Aufgabe ist:

Wir betrachten die Abbildungen

f, g : M \to M

der Menge

M {1,2,3,4}

f (1) = 2 f (2) = 3 f (3) = 1 f (4) = 4

g (1) = 1 g (2) = 3 g (3) = 2 g (4) = 2

1. Berechnen Sie fog und gof
2. Welche der Abbildungen

f, g

und fog ist injektiv?
3. Welche der Abbildungen

f, g

und fog ist surjektiv?
4. Geben Sie das Bild

g (M)

an!
5. Berechnen Sie das Urbild

g^{- 1} ({2,3})

.

Zu 1. : Ich weiß ja aus der Vorlesung, dass fog

(x) = f (g (x))

ist. Muss ich dabei die

f' s

und

g' s

jeweils als Pärchen sehen und quasi viermal diese Rechnung vornehmen? Oder muss ich alle betrachten und dann Schlüsse daraus ziehen á la:

f

von eins ist zwei und

g

von drei ist zwei, das bedeutet folgendes:

...

. (das würde mir schon Probleme bereiten). Wie gehe ich da richtig ran?

Zu

2 . :

Injektiv bedeutet, dass jeder

y -

Wert EINEN x-Wert hat. Das würde ja schonmal für einige nicht zutreffen. Denn der

y -

Wert zwei hat ja

4, 3

und 1 als x-Werte. Oder ist es umgekehrt?

Zu

3 . :

Surjektiv bedeutet, dass jeder y-Wert MINDESTENS einen x-Wert hat. Dann müssten ja alle surjektiv sein oder? Denn für alle y-Werte gibt es ja mindestens einen x-Wert. Ist das richtig?

Zu

4 . : g (1,2,3,4)

wäre das ja erstmal aufgeschrieben. Aber wie wandelt man diese Schreibweise in ein Bild um?

Zu

5 . : {2,3}

sind doch bei dem Urbild y-Werte oder? Müsste ja umgedreht sein.

Das ist Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (angeblich). Ich hab mit Abbildungen bisher nichts zu tun gehabt. Der Dozent benutzt auch ein anderes Skript in der Vorlesung, als wir Studenten zur Verfügung gestellt bekommen. Deshalb ist es immer recht schwierig die richtigen Sachen aus UNSEREM Skript herauszufiltern. Ich wäre echt dankbar für hilfreiche Lösungsansätze.

Ciao
Sandra

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Steinedieb

20:56 Uhr, 29.10.2009

Hallo

1)
du mußt jedes einzelne Element einsetzen und nachrechnen:
ich machs mal für x=1 vor:
fog(1)=f(g(1))=f(1)=2

2)
injektiv bedeutet dass jedes x auf ein anderes y abgebildet wird.
Beispiel (injektiv):
f(x)=x (jedes x wird auf ein anderes y abgebildet.)

Beispiel (nicht injektiv):
f(x) = x² ,da f(1) = f(-1)

3)
surjektiv bedeutet jedes Element wird getroffen.
Beispiel (surjektiv)
f(x) = x (jedes y wird getroffen)

Beispiel (nicht surjektiv):
f(x) = x², da es y gibt die nicht getroffen, z.B. y=-3 es gibt einfach kein x für das f(x)=-3 gilt

(für alle Schlaubis definiere ich schnell noch f:

ℝ \to ℝ

)

4)
Bild g(M) ist einfach die Menge die von der Funktion g getroffen wird.
z.B. {a,b,c,d,e,f,g,...}

5)
Hmmm... (Keine Ahnung) ich glaube

g^{-} 1

ist keine Funktion, da nur injektive Funktionen auch eine Umkehrfunktion besitzen

Sandra86 aktiv_icon

20:46 Uhr, 30.10.2009

Hallo Steinedieb,

danke schonmal für deine Antwort. Ich versuche mich gerade daran das umzusetzen, was du geschrieben hast.

Also:

1)

ich gehe das ganze kleinschrittiger durch (glaub ich jedenfalls): Nehmen wir die 1 aus der Menge.

f o g

wäre:

(f o g) (1) = f (g (1)) = 2 (g (1)) = 2 \cdot 1 = 2

????? Is das so richtig? Multipliziert man einfach die beiden Zahlen miteinander? Wenn das der Clou an der ganzen Sache sein soll haben wir einen schlechten Dozenten.

Wir hatten ja in der Vorlesung ein Beispiel mit zwei Funktionen. Einmal

f (x) \to x^{2}

und

g (x) \to x + 3

. Nur, dass hierbei bei

f o g

und

g o f

zwei verschiedene Ergebnisse rauskamen. Ich habe auch

g o f

für die 1 aus der Menge

M

ausgerechnet und da kam auch 2 raus. Muss das so? Kannst du mir vielleicht im Deppenmodus erklären, wie diese ganze Verkettungssache funktioniert?

2)

Injektiv sind also nur die Abbildungen

f (2)

und

g (2),

die haben ja beide denselben y-Wert. Schreibt man das dann so? Zu

f o g

und

g o f

kann ich leider noch nichts sagen :-)

3)

Wenn jedes

y

getroffen werden soll, bezieht sich das dann nur auf die Menge M??? Dann wären ja eigentlich alle surjektiv. Es werden ja alle Elemente aus der Menge getroffen.

4) g (M)

wäre dann ja

{1,2,3}

. Das ist das Bild?

5)

Aber

g (2)

ist doch injektiv.

Ja, also das wären nach deiner Hilfestellung meine weiteren Lösungsansätze. Kannst du mir da nochmal auf die Sprünge helfen?

Schönen Abend

Sandra

Steinedieb

21:44 Uhr, 30.10.2009

Oje, da ist nicht viel rübergekommen - bei der Vorlesung nicht und auch bei meinem letzten Post nicht.

1) du hast richtig angemerkt fog(x) = f(g(x))
Beispiel x=3:
laut der Abbildungsvorschrift (aus der Aufgabenstellung) folgt:
g(3)=2
also gilt:
f(g(x)) = f(g(3)) , da x = 3
f(g(3)) = f(2) , da g(3) = 2
f(2) = 3 , da es so in der Aufgabenstellung steht

oder machen wir es mal abstrakter hat aber nichts mit deiner Aufgabe zu tun:
seien f,g Abbildungen von

ℝ \to ℝ

(eine Abbildung aus der Menge der reellen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen)
mit f(x) = ax + 1 und g(x) = bx - 3 dann ist
fog(x) = f(g(x)) = f(bx - 3) , da g(x) = bx - 3
f(bx - 3) = a * (bx - 3) + 1 = abx - 3a + 1

2) f ist eine Abbildung und g ist eine andere Abbildung die beiden Abbildungen haben nichts miteinander zu tun. Man kann also untersuchen ob f injektiv ist oder man kann unter suchen ob g injektiv ist.
f ist injektiv weil jedes x von der Abbildung f auf ein anderes f(x) abgebildet wird.
g ist nicht injektiv weil es zwei verschiedene x gibt die von g auf dasselbe g(x) abgebildet werden. g(3) = 2 = g(4) und 3

\neq 4

3) f und g haben auch hier nichts miteinander zu tun!!!
f ist surjektiv wenn jedes Element getroffen wird. Oder mal anderes ausgedrückt wenn gilt: Bild f(M) = M

4) ja ganz genau (immerhin etwas :-) )

Sandra86 aktiv_icon

10:40 Uhr, 31.10.2009

Guten Morgen Steinedieb,

ok also ich glaube bei

f o g

und

g o f

ist der Groschen gerade eben gefallen. Ich hab mir das durchgelesen was du geschrieben hast und bin auch nochmal einige Unterlagen aus meinem Vorkurs (für Nichtmathematiker natürlich ;-) ) durchgegangen, weil mir das was du geschrieben hast so bekannt vorkam.Also:

1)

fog

(1) = f (g (1)) = f (1) = 2

gof

(1) = g (f (1)) = g (2) = 3

und zur Kontrolle mach ich noch das ganze für die 2:
fog

(2) = f (g (2)) = f (3) = 1

gof

(2) = g (f (2)) = g (3) = 2

Tadaaa! Das hat echt lange gedauert. Für die drei und die vier mach ichs dann auch noch. Das is echt super.

2)

Ich hatte da glaub ich einen Denkfehler. Ich dachte ich muss alle einzeln betrachten. Das steht auch auf dem Aufgabenblatt so blöd übereinander, dass man denken könnte, da gehören immer Pärchen zusammen. Nunja, ok

f

ist injektiv, weil jedes

x

aus der Menge

M

ein anderes

y

ergibt. Das ist jetzt auch klar.

f o g

dürfte nicht injektiv sein, weil für fog(3) und für fog(4) beide Male

f (2) = 3

rauskommt. Richtig?

3)

Dann ist

f

surjektiv, weil alle Elemente aus der Menge getroffen werden.

g

ist nicht surjektiv, die 4 wird ja nicht getroffen. Und fog ist auch nicht surjektiv. Die 4 wird hier auch nicht getroffen.

4)

Jippi! :-)

Mit der 5 setze ich mich dann auch nochmal auseinander.

Danke Dir schonmal für deine Geduld.

Steinedieb

18:39 Uhr, 31.10.2009

freut mich sehr dass der Groschen gefallen ist
(Lösungen + Verständnis von 1. - 4. scheinen nun da zu sein)

Sandra86 aktiv_icon

14:21 Uhr, 01.11.2009

Ich glaube, ich hab die Lösung für

v

.

Ich soll das Urbild von

g ({2,3})

bestimmen. Die zwei und drei sind ja die Abbildungen von zwei, drei und vier, denn:

g (1) = 1

(das wäre dann NICHT Bestandteil des Urbildes)

g (2) = 3

(Bestandteil)

g (3) = 2

(Bestandteil)

g (4) = 2

(Bestandteil)

Die letzten drei werden alle auf 2 und 3 abgebildet. Ich glaub das is richtig so. Ich hab mir das sogar aufgemalt :-)

BiGiSi aktiv_icon

11:48 Uhr, 22.10.2010

Hallo echt cool die Erklärung , einfach nur mit den Lösungen hätte ich das nicht verstanden .
Wollte einfach nur Danke an sagen .
DANKE :-)

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