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Verkettung von Linearen Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

LuAbelt aktiv_icon

17:07 Uhr, 19.01.2015

Hallo zusammen,

Ich arbeite hier gerade an einer Aufgabe zu Linearen Abbildungen, wo es unter anderem auch darum geht diese zu Verketten.
Das ist die Aufgabe:

a)

Sei

K

ein Körper und

m, n, k

∈ N. Seien A ∈ Mat(

m \times n; K)

und

B

∈ Mat(

n \times k; K)

.
Seien

φ_{A} : K^{n}

→

K^{m}, x \mapsto A

x,

und

φ_{B} : K^{k}

→

K^{n}, y \mapsto B

y,

die zugehörigen
linearen Abbildungen. Zeigen Sie:

φ_{A \cdot B} = φ_{A} \circ φ_{B}

.

Mein Ansatz dazu war erstmal, auszurechnen, wie sich beliebige Komponenten In Zeile i/Spalte

j

berechnen lassen.
Da kam ich dann auf das:
Sei

C := A \cdot B \in

Mat

(m \times k; K)

C_{i j} = \sum_{l = 1}^{k} A_{i l} \cdot B_{l j}

φ_{A \cdot B} = φ_{C} = \sum_{o = 1}^{k} C_{i l} \cdot y_{l} = \sum_{o = 1}^{k} ((\sum_{l = 1}^{k} A_{i l} \cdot B_{l j}) \cdot y_{i})

Und für

φ_{A} \circ φ_{B} :

φ_{A} \circ φ_{B} = φ_{A} (φ_{B})

{(φ_{B})}_{i} = \sum_{l = 1}^{k} B_{i l} \cdot y_{i}

{(φ_{A} (φ_{B}))}_{i} = \sum_{o = 1}^{n} A_{i l} \cdot {(φ_{B})}_{i} = \sum_{o = 1}^{n} A_{i l} \cdot (\sum_{l = 1}^{k} B_{i l} \cdot y_{i})

Und das ist ja anscheinend nicht das gleiche, wie oben...

Habe ich vielleicht irgendwo nen Fehler gemacht, oder ist mein Ansatz schon komplett daneben??

Dann gibt es in der ganzen Aufgabe noch 'ne Aufgabe

B

zu der mir jedoch völlig der Ansatz fehlt:

b)

Sei

V := ℝ [x]

⊂

A b b (ℝ, ℝ)

der Raum aller Polynomfunktionen mit reellen Koef-
fizienten. Deiniere

φ : V \to V, f \mapsto f (0) + f'

(1).
Zeigen Sie:

φ

ist eine lineare Abbildung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:47 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

beantworte:

Wie kann man

φ_{B} (x)

schreiben?
Wie kann man

φ_{a} \circ φ_{B} (x)

schreiben?
Wie kann man

φ_{A} (x)

schreiben?
Wie kann man

φ_{A \cdot B} (x)

schreiben?

Die Aufgabe ist ein Zweizeiler, du gehst zu kompliziert an die Sache heran.

Mfg Michael

LuAbelt aktiv_icon

19:09 Uhr, 19.01.2015

Hallo Micha,

Ja, natürlich du hattest Recht. Die Frage ist total simpel.

φ_{B} (x) = B \cdot x

φ_{a} \circ φ_{B} = φ_{a} (φ_{b} (x)) = A \cdot (B \cdot x)

φ_{a} = A \cdot x

φ_{A \cdot B} = (A \cdot B) \cdot x

Und weil ja jetzt das Distributivgesetz gilt sieht man, dass

φ_{a} \circ φ_{B} = φ_{A \cdot B}

Trotzdem weiß ich nicht so Recht, wie ich an

b .)

rangehen soll. Um zu zeigen, dass es eine Lineare Abbildung ist muss ich ja zeigen, dass gilt:

(1)

φ (v + v') = φ (v) + φ (v')

(2)

φ (λ \cdot v) = λ \cdot φ (v)

Aber wie gehe ich an den Beweis dafür am besten ran? Stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

Aber danke erstmal für die bisherige Hilfe

Lg.
Lukas

michaL aktiv_icon

19:14 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

nun gut, das Gesetz heißt Assoziativgesetz, aber die Richtung stimmt.

Zu b): Welche Form hat denn so ein Polynom?

Mfg Michael

LuAbelt aktiv_icon

19:32 Uhr, 19.01.2015

Hi,

Ja, na klar Assoziativ, da habe ich nur eben die Namen vertauscht.
zu

b .)

Also Wenn ich mich jetzt nicht komplett irre wäre doch

f (0) = a_{n} \cdot 0^{n} + a_{n - 1} \cdot 0^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot 0 + a_{0} = a_{0}

und

f' (1) = n \cdot a_{n} \cdot 1^{n - 1} + n - 1 \cdot a_{n - 1} \cdot 1^{n - 2} + \dots + 2 \cdot a_{2} \cdot 1^{1} + a_{1}

also wäre

f (0) + f' (1) = a_{n} + (n) \cdot a_{n} + (n - 1) \cdot a_{n - 1} + \dots + (2) \cdot a_{2} + a_{1}

oder nicht?
Aber ich sehe immer noch nicht sp wirklich den Zusammenhang zur Bedingung der linearen Abbildung

Lg Lukas

michaL aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.01.2015

Hallo,

ok, dann hast du also

v = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}

und

v ʹ = \sum_{k = 0}^{m} b_{k} x^{k}

.
Nun teste, ob

φ (v + v ʹ) = φ (v) + φ (v ʹ)

gilt.
Dann teste, ob

φ (λ v) = λ φ (v)

gilt!

Mfg Michael

LuAbelt aktiv_icon

22:46 Uhr, 19.01.2015

Hi,

Wie bist du jetzt auf

v

bzw

v'

gekommen?

Und ich weiß gerade partout nicht, was ich dann in die Bedingung einsetzen soll. Wo in meinem

f (0) + f' (1)

kommt denn

v

bzw

v'

vor?!

Lg Lukas.

michaL aktiv_icon

07:26 Uhr, 20.01.2015

Hallo,

> Wie bist du jetzt auf v bzw v′ gekommen?

Von dir!

Du schriebst (19:09 Uhr, 19.01.2015):
> (1) φ(v+v′)=φ(v)+φ(v′)
> (2) φ(λ⋅v)=λ⋅φ(v)

Also muss doch da was mit

v

sein, dachte ich.

Ich schlage vor, du ermittelst für dich, welche "Funktion" solche Variablen

v

und

v ʹ

in so einer Gleichung haben.

Mfg Michael

LuAbelt aktiv_icon

08:05 Uhr, 20.01.2015

Hallo,

Also

φ (v)

wäre doch rein theretisch

v (0) + v' (1)

und dann demzufolge

φ (v') = v' (0) + v'' (1)

oder nicht?
Und

φ (v + v') = (v + v') (0) + (v + v')' (1)

??

Lg Lukas

michaL aktiv_icon

09:32 Uhr, 20.01.2015

Hallo,

> oder nicht?

Doch, alles korrekt.

Mfg Michael

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