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Verknüpfung monoton wenn g und h monoton

Universität / Fachhochschule

Tags: Monotonie

ralph123 aktiv_icon

13:22 Uhr, 24.11.2020

Hallo,
ich muss zeigen, dass wenn g monoton wachsend ist und h strengmonoton wachsend ist, dass dann g ◦ h streng monoton wachsend ist.

Mein Ansatz:
Wenn g monoton wachsend ist, dann :

a_{1} < a_{2}

g (a_{1}) \leq g (a_{2})

und f streng monoton wachsend :

x_{1} < x_{2}

h (x_{1})

h (x_{2})

.

Zeigen: (g ◦ h)(

z_{1})

(g ◦ h) (z_{2})

wenn

z_{1} < z_{2}

(g ◦ h)(

z_{1})

= g(h(

z_{1}

))

(g ◦ h)(

z_{2})

= g(h(

z_{2}

))

Da h(

z_{1}

)<(

z_{2}

) und

g (a_{1}) \leq g (a_{2})

ist g(h(

z_{1}

))

\leq

g(h(

z_{2}

))

Damit habe ich ja nicht bewiesen, dass es streng monoton wachsend ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

ralph123 aktiv_icon

13:24 Uhr, 24.11.2020

Beziehungsweise, ich könnte die Aussage auch wiederlegen. Aber ich weiß nicht so genau ob sie wahr oder falsch ist

DrBoogie aktiv_icon

13:27 Uhr, 24.11.2020

Verstehe nicht, woran du scheiterst.

a_{1} < a_{2}

h (a_{1}) < h (a_{2})

(weil

h

monoton) =>

g (h (a_{1})) < g (h (a_{2}))

(weil

g

monoton).
Also

g \circ h

monoton

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 24.11.2020

Ach so. Wenn

h

nur monoton und

g

streng monoton, dann musst

g \circ h

nicht streng monoton sein. Beispiel:

h = 1

(Konstante). Dann ist auch

g \circ h

konstant, daher nicht streng monoton.

Und genauso, wenn

g

nur monoton. Dann kann man

g = 1

konstant wählen. Wieder wird

g \circ h

konstant

ralph123 aktiv_icon

13:55 Uhr, 24.11.2020

Okay danke, also kann ich die Aussage wiederlegen, da wenn g = 1 ist, g zwar monoton wachsend ist und f irgendeine streng monoton wachsende Funktion ist, aber g ° f auch nur wachsend ist weil g°f nur 1 ist.

ralph123 aktiv_icon

14:11 Uhr, 24.11.2020

Funktioniert das dann auch bei der Aufgabe:
man hat wieder die Funktion h mit A->B und g mit B->C A,B,C sind Teilmengen der reellen Zahlen.

Man soll jetzt zeigen oder widerlegen, dass wenn h periodisch ist, auch g◦h periodisch ist, aber wenn man g(x)=1 festlegt kommt wieder g◦h = 1 raus oder?

Shipwater aktiv_icon

14:55 Uhr, 24.11.2020

Konstante Funktionen sind doch periodisch. Versuche lieber die Aussage zu beweisen.

ralph123 aktiv_icon

15:07 Uhr, 24.11.2020

Okay ja stimmt, hatte ich irgendwie nicht bedacht. Dann müsste ich beweisen, dass g◦f auch periodisch ist.

Mein Ansatz:

Zeigen: (g◦f)(x1)=(g◦f)(x2) x1

\neq

x2

Sei f periodisch also f(x1)=f(x2) x1

\neq

x2

(g◦f)(x1)=g(f(x1))

Da f(x1) = f(x2): g(f(x1))=g(f(x2)=(g◦f)(x2)

Reicht das schon als Beweis?

Shipwater aktiv_icon

16:08 Uhr, 24.11.2020

Schlage nochmal die Definition von "periodisch" nach. Von der Beweisidee ist es aber richtig.

ralph123 aktiv_icon

17:37 Uhr, 24.11.2020

Okay ich hab jetzt die Definition von periodisch : f(x+k*p)=f(x) k

\in

Z und p ist die Periode

Also zeigen: f periodisch ->(g◦f)(x)=(g◦f)(x+k*p)

f ist periodisch wenn f(x+k*p)=f(x)

(g◦f)(x)=g(f(x))= g(f(x+k*p)) = (g◦f)(x+k*p)

Wäre das so richtig?

DrBoogie aktiv_icon

20:33 Uhr, 24.11.2020

Ja, richtig

Shipwater aktiv_icon

14:40 Uhr, 25.11.2020

Mache dir am besten noch klar, dass

f (x) = f (x + p)

als Definition für periodisch ausreicht. Daraus folgt dann automatisch

f (x) = f (x + k \cdot p)

für alle

k \in ℤ

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