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Verknüpfungstafel

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Verknüpfungstafel

wauzi aktiv_icon

21:12 Uhr, 26.10.2014

Hallo ihr Lieben,
bearbeite zurzeit ein Analysis Arbeitsblatt und bin mir nicht ganz sicher wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll.

'Beschreiben Sie alle Gruppen mir einem, zwei, drei bzw. vier Elementen

(z . B

. durch eine Verknüpfungstafel). Gibt es Körper mit einem, zwei, drei oder viele Elementen?'

Also ich hab es mit einer Verknüpfungstafel versucht, obwohl ich gar nicht weiß wie man eine Verknüpfungstafel bildet (es wäre also auch ganz nett wenn mir jemand erklären könnte wie man eine Verknüpfungstafel bildet, da ich meine aus dem Internet habe), die so aussieht:

G := {a, b, c, d}

| \begin{matrix} + & a & b & c & d \\ a & a & b & c & d \\ b & b & a & d & c \\ c & c & d & a & b \\ d & d & c & b & a \end{matrix} | | \begin{matrix} \cdot & a & b & c & d \\ a & a & a & a & a \\ b & a & b & c & d \\ c & a & c & d & b \\ d & a & d & b & c \end{matrix} |

ist das jetzt richtig? Und die Antwort auf die zweite frage weiß ich leider auch nicht.

Vielen Dank!

Lg, Katy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

22:35 Uhr, 26.10.2014

Hi,

Also erstmal sind deine angegebenen Verknüfungstafeln für spezielle Verknüpfungen gegeben und zwar Addition und Multiplikation.
Generell gibt es aber weitaus mehr Möglichkeiten eine Verknüpfung zu definieren, deshalb muss du hier allgemein bleiben und von einer beliebigen Verknüpfung

⋆ : G x G \to G

sprechen.

Zusätzlich musst du dir natürlich überlegen welche Eigenschaften eine Gruppe hat.

Hast du also, wie hier 4 Elemente

a, b, c

und

d

und willst eine Gruppe daraus machen, musst du dir ein neutrales Element definieren.

z . B

e_{G} = a

daraus kannst du dann unter anderem folgern, dass

a ⋆ b = b = b ⋆ a

a ⋆ c = c = c ⋆ a

a ⋆ d = d = d ⋆ a

sein muss, da a ja dein neutrales Element ist (als neutrales Element hättest du ebenso gut

b, c, d

wählen können). Weiter musst du natürlich für jedes Element aus

G

ein Inverses haben was wiederum in

G

ist.

Wenn du vielleicht etwas von Restklassen weißt, könnte man die Idee hierfür übertragen.

ledum aktiv_icon

00:26 Uhr, 27.10.2014

Hallo
Verknupfungstabelle
1. musst du das neutrale Element der Addition definieren, das nennt man

i . A

. 0 bei dir ist es a
dann das neutrale Element der Multiplikation meist 1 genannt, bei dir

b

damit hast du dann schon 2 Elemente.
dann nähme ich noch eine

2 = c

und

3 = d

dazu das nächste wäre 4 das soll wieder 0 sein

5 = 16 = 27 = 3

d . h

. meine Objekte sind die Reste bei Division durch 4
dann stimmt deine Additionstabelle schlecht in deiner addition etwa ist jedes Elemen sein eigenes Inverses da ja a die 0 ist, du hast

b + b = a, c + c = a, d + d = a

dann

(b + b) + d = a + d = d

oder

b + (b + d) = b + c = d

also richtig. du musst überprüfen
entsprechend bei der multiplikation. einen Körper hast du wenn due zwei Verknüpfungen hast, die man auch

+

und

\cdot

nennen kann, und zu jedem Element ein additives Inverses gibt, in der Tabelle also in jeder Zeile ein a vorkommt. und ein multiplikatives Inverses also in jeder Zeile und Spalte ein

b

vorkommt.
dann müssen noch a(b+c)=ab+ac) gelten usw, Sieh dir die Körperaxiome an!
Gruss ledum

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