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Verschiedene Wahrscheinlichkeit trotz gleicher ...

Schüler

Tags: Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeit

 
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Josua

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20:56 Uhr, 05.12.2023

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Hallo, trotz gleicher prozentualer Verteilung ist die Wahrscheinlicheit verschieden. Warum ist das so?

Die Wahrscheinlichkeit bei n=100 und p=0,95 für 0 bis 90 Treffer bei 2,82%

Die Wahrscheinlichkeit bei n=400 und p=0,95 für 0 bis 360 Treffer bei 0,0031%

Beides mal geht es um die Wahrscheinlichkeit von 90% der Treffer. Warum unterscheidet sich die Wahrscheinlichkeit?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Randolph Esser

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21:33 Uhr, 05.12.2023

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Weißer Mann meinen

k=090100!(100-k)!k!0,95k0,05100-k0,0282,

k=0360400!(400-k)!k!0,95k0,05400-k0,0000313.

Das sind jeweils die Chancen für eine Trefferquote zwischen 0 und 90%

und nicht für genau 90%.
Josua

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21:40 Uhr, 05.12.2023

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Ja danke, dass habe ich ja auch raus. Angenommen ein Händler garatiert, dass der Kunde nicht zahlen muss, wenn nur 90% oder weniger der Ware nicht defekt ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein defektes Stück beträgt 0,95. Der Händler liefert an 4 Kunden jeweils 100 Stück. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der 4 Kunden zahlen muss?

Man könnte nun sagen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner der 4 Kunden zahlen muss bei 0,02824= etwa 0,00636% liegt. Bei 4 Lieferungen à 100 Stück an den gleichen Kunden liegt sie also auch bei 0,00636% das der Kunde nicht zahlen muss. Bei Lieferung von 400 Stück bei
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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

21:57 Uhr, 05.12.2023

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Nach wie vor zu Deinem ersten Beitrag:

Ja, wieso is das so, hm...

Vielleicht, weil der Gedanke, dass es gleich bleibt, naiv ist.

Nach Deinem Gedanken müsste z.B. die Chance, bei zweimal Würfeln

keine oder eine Sechs zu kriegen die gleiche sein

wie bei viermal Würfeln keine, eine oder zwei Sechsen.

Hier werden die Formeln sehr einfach:

k=012!(2-k)!k!(16)k(56)2-k=(56)2+21656=3536,

k=024!(4-k)!k!(16)k(56)4-k=(56)4+416(56)3+6(16)2(56)2=425432.

Und es ist nicht so...

Josua

Josua aktiv_icon

22:05 Uhr, 05.12.2023

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Der Unterschied zwischen 4x100 und einmal 400 liegt wohl daran, dass bei 4x100 die ersten 100 nicht die folgenden "ausgleichen" können, usw.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei 10 Würfen eine Würfelzahl kein mal oder einmal trifft liegt bei 48,45%


Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei 100 Würfen eine Würfelzahl kein mal oder zehn mal trifft liegt bei 42,7%

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man 10 mal nacheinander bei 10 Würfen eine Würfelzahl kein mal oder einmal, also insgesamt kein mal oder 10 mal trifft sollte bei 0,07% liegen.
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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

22:12 Uhr, 05.12.2023

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Zu Deinem zweiten Beitrag:

0,02824=0,0000006324=0,0000634% ist korrekt, Treffer, versenkt.

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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

22:39 Uhr, 05.12.2023

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Zu Deinem dritten Beitrag.

Poste bitte nicht solch wirsches Zeug.

Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine Zahl (z.B. die 6)

bei zehn Würfen keinmal oder einmal zu bekommen, ist

k=0110!(10-k)!k!(15)k(56)10-k0,54912,

also knapp 55%.



Ich bin raus, Houston, übernehmen Sie !



(Und 0,00006324% statt 0,0000634% in meinem dritten Beitrag, sorry,

wobei der Wert ja eh gerundet ist.)


Josua

Josua aktiv_icon

23:22 Uhr, 05.12.2023

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trotz des einen oder andern Kommafehlers, etc. warum das mit den 90% nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit gibt und 39 falsche unter den ersten 100 durch 300 richtige ausgeglichen werden können und vieleicht auch umgekehrt müsste man wohl anhand der Wege nachvollziehen können, und das sind bei 400 ganz schön sehr viele ....
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Randolph Esser

Randolph Esser aktiv_icon

02:54 Uhr, 06.12.2023

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...

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KL700

KL700 aktiv_icon

07:13 Uhr, 06.12.2023

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Darüber hat Blaise Pascal schon nachgedacht und erkannt:

"Pascal erkennt auch, dass man eher eine Sechs beim vierfachen Würfeln (51,8 Prozent) als einen Sechser-Pasch beim 24-fachen Doppelwurf (49,1 Prozent) erzielen kann; ihm erscheint dies allerdings unlogisch (»l'arithmétique se démentoit«), da doch die Zahlenverhältnisse (4z6 und 24 zu 36) gleich seien."

www.spektrum.de/wissen/blaise-pascal-1623-1662/940105
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calc007

calc007

08:19 Uhr, 06.12.2023

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Kurz und gut:
> Das ist unter 'Gesetz der großen Zahl' bekannt.
In meinen (kurzen) Worten:
Je öfters man würfelt (Lose zieht), desto relativ dichter verteilt sich die Erwartung um den Erwartungswert.
Oder
Je öfters man würfelt, desto wahrscheinlicher wird's, dass man ein Ergebnis nahe um den Erwartungswert trifft.
Konsequenz: "...desto wahrscheinlicher..." drückt doch aus, dass sich die Wahrscheinlichkeit ändert.

> oder - wenn du mal den Übergang zur Normalverteilung machst:
Dort gibt's die Formel für die Standardverteilung:
σ=npq
Aha die Standardverteilung wächst NUR mit der Wurzel der Anzahl n an Würfen (Losziehungen)!
D.h. doch, öfters würfeln führt nicht zur selben Normalverteilung oder proportionalen Verteilung, sondern eben zu einer Verteilung die mit der Wurzel an Würfen (Losziehungen) wächst.

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HAL9000

HAL9000

09:10 Uhr, 06.12.2023

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Summiert man n unabhängig identisch verteilte Größen (was man gewöhnlich als "Stichprobe" bezeichnet), so wächst der Erwartungswert diese Summe linear in n, die Standardabweichung dieser Summe jedoch nur in n. Für die von dir oben betrachtete Binomialverteilung B(n,p), die man ja auch als Summe von n Bernoulli-verteilten Größen auffassen kann, bedeutet das Erwartungswert μ=np und σ=np(1-p)

Für eine Wahrscheinlichkeit P(Xnnα) bedeutet das nach Zentralem Grenzwertsatz (ZGWS) von Moive-Laplace dann näherungsweise

P(Xnnα)Φ(nα-npnp(1-p))=Φ(nα-pp(1-p))

mit Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung. Du oben arbeitest mit p=0.95,α=0.9, das ergibt α-pp(1-p)-0.23 und somit eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr Φ(-0.23n) . Für wachsende n ergibt das eine immer kleinere Wahrscheinlichkeit, so wie du es ja auch beim Übergang von n=100 zu n=400 beobachtet hast.

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