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Verständnis AM GM Ungleichung Beweis durch Polya

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Sonstiges

Tags: arithmetisches Mittel, Geometrisches Mittel, Polya, Sonstig, Ungleichung

Jannik-F aktiv_icon

12:00 Uhr, 12.03.2021

Hallo zusammen,

ich muss aktuell die Ungleichung zwischen dem arithmetischen Mittel und dem geometrischen Mittel beweisen. Hierzu habe ich auf Wikipedia diverse Ansätze gefunden und mich für den Beweis von Polya entschieden, da wir die Vorraussetzung

e^{x} \geq 1 + x

schonmal bewiesen haben. Leider haperts ein wenig an dem Verständnis der einzelnen Schritte (siehe Bild).

Im ersten Schritt nimmt man lediglich die Voraussetzung

e^{x} \geq 1 + x

und substituiert

x = \frac{x_{i}}{x_{a}}

.Daraus folgt dann

e^{\frac{x_{i}}{x_{a}} - 1} \geq \frac{x_{i}}{x_{a}}

. Soweit komme ich noch mit. Im nächsten Schritt steht man multipliziert die Ungleichung für

i = 1 ... n

und erhält

e^{\sum_{i} \frac{x_{i}}{x_{a}} - n} \geq \prod_{i} (\frac{x_{i}}{x_{a}})

Das man einfach so mal

i

rechnen kann während

i = 1 ... n

gilt wusste ich tatsächlich nicht, nehme ich aber einfach mal so hin. Aufgrund der Potenzgesetze kommt die Summe auf der linken Seite zu Stande und die rechte Seite ist ja recht offensichtlich eigentlich. Müsste nicht trotzdem bei dem Summen- und Produktzeichen oben ein

n

stehen und in der Summe statt

- n

ein

- i

stehen ?

Im nächsten Schritt wird das obige einfach zusammengefasst zu

e^{n - n} \geq \frac{x_{g}^{n}}{x_{a}^{n}}

Dieser Schritt ist mein Hauptproblem. Wieso bleibnt auf der linken Seite nur

e^{n - n}

übrig ? Woher kommt das geometrische Mittel auf der rechten Seite auf einmal ?

e^{n - n}

ist ja offensichtlich 1 und ab da auf

x_{a} \geq x_{>} g

zu kommen bekomme ich hin. Den letzten Schritt verstehe ich also auf keinen Fall und der Schritt davor ist etwas schwammig.

Es wäre super wenn mir das jemand erklären könnte :-)

MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Streumaß und Lagemaß

DrBoogie aktiv_icon

12:24 Uhr, 12.03.2021

"Dieser Schritt ist mein Hauptproblem. Wieso bleibnt auf der linken Seite nur en−n übrig ? Woher kommt das geometrische Mittel auf der rechten Seite auf einmal ?"

Per Definition

x_{a r i t h m} = \frac{\sum_{i} x_{i}}{n}

, daher

\frac{\sum_{i} x_{i}}{x_{a r i t h m}} = n

.

Per Definition

x_{g e o m} = \sqrt[n]{\prod_{i} x_{i}}

, daher

x_{g e o m}^{n} = \prod_{i} x_{i}

.
Also kann man schreiben

\prod_{i} \frac{x_{i}}{x_{a r i t m}} = \frac{\prod_{i} x_{i}}{\prod_{i} x_{a r i t h m}} = \frac{x_{g e o m}^{n}}{x_{a r i t h m}^{n}}

, wobei hoch

n

im Nenner daher kommt, dass man dieselbe Zahl

n

mal mit sich selbst multipliziert.

Jannik-F aktiv_icon

17:08 Uhr, 12.03.2021

Vielen Dank für deine Antwort, ich glaube im Großen und Ganzen verstehe ich das jetzt. Im Prinzip formt man

e^{x} \geq 1 + x

ja nur so um, dass man auf

x_{a} \geq x_{g}

schließen kann. Könnte man das Ganze dann ca. so aufschreiben ?

Als bekannt ist vorausgesetzt, dass gilt:

e^{x} \geq 1 + x

Substituiere

x = \frac{x_{i}}{x_{a}} - 1

wobei

i

definiert ist als

1, ..., n

*kann man das mit den

x_{i}

einfach so aufschreiben ? Habe ich persönlich noch nie so gesehen aber damit steht und fällt ja dieser Beweis.*

\Leftrightarrow e^{\frac{x_{i}}{x_{a}} - 1} \geq \frac{x_{i}}{x_{a}}

*Ist der nächste Schritt nun

| \cdot i

oder

| \prod_{i}^{n}

?

Es steht ja "Multipliziert man diese Ungleichung für i=1,...,n", was für mich eher ersteres bedeutet, aber man arbeitet ja danach mit dem Produktzeichen, was man über letzteres bekommen könnte, wobei ich nicht weiß, ob man das einfach so als Umformungsoperator nehmen kann ?*

\Leftrightarrow e^{\sum_{i}^{n} \frac{x_{i}}{x_{a}} - n} \geq \prod_{i}^{n} \frac{x_{i}}{x_{a}}

Das arithmetische Mittel ist definiert als

x_{a} = \frac{\sum_{i}^{n} x_{i}}{n}

also erhalten wir nach Umformung

n = \sum_{i}^{n} \frac{x_{i}}{x_{a}}

Das geometrische Mittel ist definiert als

x_{g =} \sqrt[n]{\prod_{i}^{n} x_{i}}

also erhalten wir nach Umformung

x_{g}^{n} = \prod_{i}^{n} x_{i}

Mit diesen beiden Informationen erhalten wir aus der oberen Ungleichung

\Leftrightarrow e^{n - n} \geq \frac{x_{g}^{n}}{x_{a}^{n}}

\Leftrightarrow 1 \geq \frac{x_{g}^{n}}{x_{a}^{n}} | \cdot x_{a}^{n}

\Leftrightarrow x_{a}^{n} \geq x_{g}^{n} | \sqrt[n]{}

\Leftrightarrow x_{a} \geq x_{g}

Ich habe die beiden Fragen die ich noch habe zwischen den

\cdot

geschrieben, für noch eine schnelle Antwort wäre ich sehr dankbar :-)

LG

DrBoogie aktiv_icon

17:17 Uhr, 12.03.2021

"*kann man das mit den xi einfach so aufschreiben ? Habe ich persönlich noch nie so gesehen aber damit steht und fällt ja dieser Beweis.*"

Mich wundert ein bisschen die Frage.
Wenn

e^{x} \geq 1 + x

für ALLE

x

gilt, dann heißt es ja, dass du anstelle von

x

alles Mögliche einsetzen kannst.
Z.B. folgt daraus

e^{t^{2} + 1} \geq 1 + t^{2}

oder auch

e^{\sin (x) + 7 y} \geq 1 + \sin (x) + 7 y

. Oder halt was du hast.

"*Ist der nächste Schritt nun |⋅i oder ∣∣∣∣∏in?
Es steht ja "Multipliziert man diese Ungleichung für i=1,...,n", was für mich eher ersteres bedeutet, aber man arbeitet ja danach mit dem Produktzeichen, was man über letzteres bekommen könnte, wobei ich nicht weiß, ob man das einfach so als Umformungsoperator nehmen kann ?*"

Gemeint ist natürlich, dass man

n

Ungleichungen miteinander multipliziert. Also erste Ungleichung mit der zweiten, mit den dritten usw. (Das ist etwas salopp, eigentlich multipliziert man linke Seiten mit linken Seiten und rechte Seiten mit rechten Seiten.) Das entspricht der Produktbildung. Sonst hätte man ja kein Produkt als Ergebnis.

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