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Verständnisfrage: Normalenvektor Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: elektrischer Fluss, Kugelkoordinaten, Oberflächenintegral, Physik, Polarkoordinaten, Skalarprodukt

KevinMitnick95 aktiv_icon

16:02 Uhr, 18.07.2017

Hi,
ich habe Verständnisschwierigkeiten bei einer Aufgabe und würde mich über die Klärung dieser freuen.
Es geht um eine Aufgabe, bei der man den elektrischen Fluss anhand der Berechnung von Oberflächenintegralen lösen soll, ein Screenshot der Aufgabe füge ich der Frage hinzu.

Lösung:

a)

\vec{n} = (\begin{matrix} cos Θ \\ sin Θ \end{matrix})

\vec{E} = (\begin{matrix} E \\ 0 \end{matrix})

d \vec{A} = \vec{n} \cdot d a

\to \int \vec{E} \cdot d \vec{A} = \int E \cdot cos Θ \cdot d a = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2 Π} d φ \cdot d r \cdot E \cdot cos Θ = Π \cdot R^{2} \cdot E \cdot cos Θ

b)

\vec{n} = (\begin{matrix} sin Θ \cdot sin φ \\ sin Θ \cdot cos φ \\ cos Θ \end{matrix})

\vec{E} = (\begin{matrix} E \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\to \int \vec{E} \cdot d \vec{A} = \int_{0}^{Π} \int_{0}^{2 Π} E \cdot cos Θ \cdot sin Θ \cdot d Θ \cdot d φ \cdot R^{2}

Sub:

u = cos Θ \to

\frac

{

du}{d\Theta}=

- sin Θ \to d Θ =

\frac

{

-du}{sin\Theta}

= \int_{0}^{Π} \int_{0}^{2 Π} R^{2} \cdot E u \cdot d u \cdot d φ = 0

Mein Verständnisproblem:

Bei Aufgabe

a)

werden Polarkoordinaten verwendet und bei der

b)

Kugelkoordinaten, soweit hab ich das verstanden.
Bei der

a)

wird allerdings

\vec{n} = (\begin{matrix} cos Θ \\ sin Θ \end{matrix}),

was ja den Transformationsgleichungen von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten entspricht, den Vorfaktor 1 der sich aus dem Normalenvektor ergibt, kann man ja weglassen. Dass gleiche, nur in Kugelkoordinaten, wird dann auch bei der

b)

gemacht:

\vec{n} = (\begin{matrix} sin Θ \cdot sin φ \\ sin Θ \cdot cos φ \\ cos Θ \end{matrix})

.
Bei der

b)

erscheint mir das logisch, da der Normalenvektor in die gleiche Richtung wie das Elektrische Feld zeigt, aber bei der

a)

ist der Normalenvektor ja um den Winkel

φ

von der Richtung des Elektrischen Feldes abgelenkt, daher verstehe ich nicht wie der Normalenvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} cos Θ \\ sin Θ \end{matrix})

sein kann, wo dass doch die Transformationsgleichungen für die

x

und

y

Koordinaten sind?

Ich hoffe dass ich mein Verständnisproblem klar rübergebracht habe und sich jemand die Mühe machen will, mir bei der Aufklärung zu helfen :-)

Edit: Die Lösung der Aufgabe

a)

muss nach dem Gaußschen Gesetz natürlich auch gleich Null sein.

OberflaechenintegralUndElektrischerFluss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

16:23 Uhr, 18.07.2017

Hallo
dass der Normalenvektor die Richtung des Radius hat, hat nichts mit der Transformationsgleichung zu tun.
mit

x = r \cdot cos (φ), y = r \cdot sin (φ)

kannst du

\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

oder eben als

(\begin{matrix} cos (φ) \\ sin (φ) \end{matrix})

zeichne einfach mal den Normalenvektor an einen Kreis!
weder bei

b)

noch bei

a)

hat

\vec{E}

die Richtung des Normalenvektors,

E

wisst doch immer in

x -

Richtung?
im Integral hast du dann das Skalarprodukt zwischen

\vec{E}

und

\vec{n},

dabei werden die

y

und

z

Komponenten mit 0 multipliziert und du hast in beiden Fällen im Integral

E_{x} \cdot n_{x}

dein Bild ist wahrscheinlich zu groß und wird nicht angezeigt, mach Bilder mit <=500kB.
Gruß ledum

KevinMitnick95 aktiv_icon

16:42 Uhr, 18.07.2017

Ich habe das Bild jetzt nochmal als jpeg Datei hochgeladen und es hat geklappt.

Stimmt, der Normalenvektor zeigt bei der

b)

gar nicht in die gleiche Richtung wie

\vec{E},

zeigt der in die Richtung des Radius?

Bei der

a)

steht

\vec{n}

senkrecht auf der Kreisscheibe, was ja "normal" ist - scnr :-D)
und ist um den Winkel

φ

von

\vec{E}

abgelenkt, wie man auf dem Bild sehen kann.

Bei einem homogenen elektrischen Feld wählt man die Richtung fast immer in

x

Richtung, man könnte es aber theoretisch auch in die

y -

oder z-Richtung laufen lassen, soweit ich weiß.

Das mit dem Skalarprodukt habe ich verstanden, habe eher Probleme damit den Normalenvektor in Polar- oder Kugelkoordinaten aufzustellen.

Du hast den Normalenvektor als Vektor durch dessen Betrag geteilt oder?

Ist bei der

a)

der Normalenvektor

\vec{n}

nicht fest?

pwmeyer aktiv_icon

16:57 Uhr, 18.07.2017

Hallo,

ist es nicht so, dass in der Grafik bei

a)

ein Winkel

φ

auftritt, der in der Rechnung mit

θ

bezeichnet worden ist?

Gruß pwm

KevinMitnick95 aktiv_icon

17:04 Uhr, 18.07.2017

"ist es nicht so, dass in der Grafik bei

a)

ein Winkel φ auftritt, der in der Rechnung mit θ bezeichnet worden ist?"

Das könnte sein, da ich die Lösung nicht verstehe habe ich sie eins zu eins abgeschrieben.
Unser Tutor hatte uns die Aufgabe so im Tutorat vorgerechnet, ist jetzt aber schon ein paar Wochen her.
Bin gerade bei der Klausurvorbereitung und bin die alten Übungsblätter nochmal durchgegangen und dabei habe ich gemerkt, dass ich den Lösungsweg nicht nachvollziehen kann.

ledum aktiv_icon

20:39 Uhr, 18.07.2017

Hallo
bei einem Kreis und einer Kugel ist der Normalenvektor immer in Richtung des Radius. Wenn du also den Ortsvektor des Radius kennst, kennst du die Richtung von

n

auf diesen Flächen bzw Kurven.
Was meinst du mit fest?

\vec{n}

hängt doch von der Stelle auf dem Kreis bzw Kugel ab?
Da ich jetzt erst dein Bild sehe, ist deine erste Aufgabe falsch,

\vec{n}

ist da wirklich ein fester Vektor, allerdings ein

3 d

Vektor der auf der Kreisfläche und nicht der Kreiskurve senkrecht steht. Du kannst allerdings

z . B

den Kreis in der

x - y

Ebene wählen , und dann

\vec{E}

in einer beliebigen Richtung. also

\vec{E} = (\begin{matrix} E_{x} \\ E_{y} \\ E_{z} \end{matrix}),

dann hast du die Bedingungen auch erfüllt,
Gruß ledum

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