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Verständnisfrage zum Erwartungswert

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

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16:56 Uhr, 09.01.2019

Hi Forum,

ich habe ein grundlegende Frage zur Berechnung des Erwartungswert bei stetigen Zufallsgrößen:

Die Definition ist ja

E (X) = lim_{n \to \infty} (X_{n})

Da man aber oft mit Riemann-Dichten für die Zufallsgrößen operiert, wird

E (X) = \int x f (x)

gerechnet - so weit so gut.

Wie ist denn eigentlich dieses

x

zu verstehen? Vergleiche ich die Definition des Erwartungswerts für stetige Zufallsgrößen mit jener Definition für diskrete Zufallsgrößen müsste es doch eine Laufvariable sein oder? Ist es eine Laufvariable kann ich sie doch beliebig austauschen, oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

17:43 Uhr, 09.01.2019

>

Wie ist denn eigentlich dieses

x

zu verstehen? Vergleiche ich die Definition des Erwartungswerts für stetige Zufallsgrößen mit jener Definition für diskrete Zufallsgrößen müsste es doch eine Laufvariable sein oder? Ist es eine Laufvariable kann ich sie doch beliebig austauschen, oder?

Also Laufvariable würde ich das auch bei diskreten Verteilungen nicht nennen

Nimm die diskrete Verteilung

P (X = 1) = 0,3

P (X = 1,5) = 0,1

P (X = 9) = 0,6

Dann ist der Erwartungswert

\sum_{i = 1}^{3} [x_{i} \cdot P (X = x_{i})] = 5,85

mit

x_{1} = 1, x_{2} = 1,5

und

x_{3} = 9

.
Würdest du da wirklich die

x_{i}

als Laufvariable bezeichnen? Wenn, dann könnte man bestenfalls

i

als Laufvariable bezeichnen, wenngleich der Begriff dem Programmieren entlehnt ist und bei mathematischen Summen eigentlich nicht zur Anwendung kommen sollte, auch wenn mir da kein besserer einfallen würde (Zählindex?) Wiki's "Summationsvariable" halte ich nicht für sinnvoll, da ja nicht die Summe dieser "Variablen" gebildet wird.
Bei diskreten Verteilungen, bei der die Ereignisse abzählbar sind, kann man mit solchen Summen diskreter Werte noch hantieren, bei stetigen Zufallsvariablen ist das natürlich nicht mehr möglich, die Summe wird zum Integral und die "Laufvariable" wird dadurch ersetzt, dass das Integral von

- \infty

bis

+ \infty

ausgewertet wird, also sicher stellt, dass jeder mögliche Wert der Zufallsvariablen erfasst wird.

Und was du mit "beliebig austauschen" meinst ist auch unklar.
Natürlich kannst du für den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen mit der Dichtefunktion

f

auch

\int_{- \infty}^{+ \infty} [a \cdot f (a)] d a

schreiben, wenn es dir Spaß macht.

NotAMatheGenie aktiv_icon

18:12 Uhr, 09.01.2019

Hey Roman-22,

danke für die Antwort, ich habe es so aufgefasst:

Dann ist

x

keine Laufvariable sondern der Wert, den die Zufallsgröße annimmt und die wird multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit die der Wert annimmt, ok.

Das Austauschen des Werts beim Integriert kann ja manchmal hilfreich sein, wenn man eine W.Dichte gegeben hat, die zwar einen Parameter besitzt aber mehrere Variablen. Also zum Beispiel die Expotentialverteilung (variabel sind

x

und

λ

aber Parameter ist ja nur

x

, wenn die Verteilung als

f (x)

gegeben wird)

Ich habe dazu noch eine Aufgabe bei welcher man Erwartungswert und Varianz für

e^{- X}

herleiten soll, wobei

X \sim ɛ (λ)

verteilt sein soll. Ich verstehe es so:

E (X) = \int_{- \infty}^{\infty} x e^{- (λ e^{- λ x})} d x

ist das so richtig interpretiert?

Roman-22

18:44 Uhr, 09.01.2019

Du sollst ja nicht

E (X)

berechnen, sondern den Erwartungswert einer neuen Zufallsvariablen

Y = e^{- X}

Und wie kommst du auf dein Integral? Nehme an, dass du mit

ε

die Exponentialverteilung bezeichnest? Dann dürfte das Integral aber auch nur von 0 weg laufen.

HAL9000

18:54 Uhr, 09.01.2019

Richtig ist

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

, das gilt speziell auch für

g (x) = e^{- x}

E (e^{- X}) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x} f_{X} (x) d x

.

Ist

X

exponentialverteilt mit Parameter

λ

, so wird daraus schließlich

E (e^{- X}) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} \cdot λ e^{- λ x} d x = \int_{0}^{\infty} λ e^{- (λ + 1) x} d x

(beachte das eingeschränkte Integrationsgebiet, da die Dichte für negative Argumente gleich Null ist).

NotAMatheGenie aktiv_icon

19:04 Uhr, 09.01.2019

ja gemeint ist die Expotentialverteilung

f (x) = λ e^{- λ x}

und ja dann müssten die Grenzen 0 bis unendlich sein, korrekt.

Und jetzt meinst du dass nicht

E (X)

sondern

E (Y)

, wobei

Y = e^{- X}

(Im Exponenten steht ein großes X)?
Aber jetzt verstehe ich leider wirklich nur noch Bahnhof...

HAL9000

16:18 Uhr, 10.01.2019

Bis jetzt sehe ich keine Rückfrage, die diese Bezeichnung wert ist, sondern nur seltsam schwammig geäußertes Unverständnis...

Ja natürlich, es geht um

Y = e^{- X}

, und für dieses

Y

sollen Erwartungswert

E (Y)

sowie Varianz

V (Y)

berechnet werden.

Zu

E (Y) = E (e^{- X})

habe ich konkret aufgezeigt, wie das zu rechnen ist, dazu bisher leider keine Reaktion von dir.

Zur Varianz: Es ist

V (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}

, wir benötigen neben dem bereits vorher berechneten

E (Y)

also auch noch

E (Y^{2}) = E ({(e^{- X})}^{2}) = E (e^{- 2 X}) = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} \cdot λ e^{- λ x} d x = \int_{0}^{\infty} λ e^{- (λ + 2) x} d x

.

Jetzt könntest du dich langsam mal bemühen, diese beiden Integrale zu

E (Y)

sowie

E (Y^{2})

auszurechnen.

NotAMatheGenie aktiv_icon

08:59 Uhr, 11.01.2019

Ja sorry für das Geschwamme, aber leider fehlen mir wohl die Worte um den Nagel auf den Kopf zu treffen.

Deinem Ansatz nach ist

E (Y = e^{- x}) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} λ e^{- λ x} d x = λ \int_{0}^{\infty} e^{- (λ + 1) x} d x = [\frac{λ}{- λ - 1} e^{- (λ + 1) x}]_{0}^{\infty}

und bedenkt man jetzt das bei der Expotentialverteilung gilt:

λ > 0

muss

E (Y) = \frac{λ}{λ + 1}

sein.

Weiter mit der Varianz:

Nach dem Verscheiebesatz gilt

V a r (Y) = E (Y^{2}) - (E (Y))^{2}

, was du ja schon hingeschrieben hast.

E (Y^{2}) = \int_{0}^{\infty} (e^{- x})^{2} λ e^{- λ x} d x = λ \int_{0}^{\infty} e^{- (λ + 2) x} d x = [\frac{λ}{- λ - 2} e^{- (λ + 2) x}]_{0}^{\infty}

. Wieder ist

λ > 0

, dann muss

E (Y^{2}) = \frac{λ}{λ + 2}

sein.

Dann ist

V a r (Y) = \frac{λ}{λ + 2} - \frac{λ^{2}}{(λ + 1)^{2}}

Hat denn eigentlich diese Regel

E (g (x)) = \int g (x) f_{Y} (x)

einen speziellen Namen bzw. worauf begründet sich diese Regel?

HAL9000

10:54 Uhr, 11.01.2019

Der Erwartungswert ist maßtheoretisch definiert gemäß

E (Y) = \int_{Ω} Y d P

, das trifft natürlich genauso zu, wenn man das für

Y = g (X)

nutzt:

E (g (X)) = \int_{Ω} g (X (ω)) d P (ω)

. Darauf wird dann der Transformationssatz für den Übergang von Maß

P

(auf

Ω

) zu Bildmaß

P_{X} = P \circ X^{- 1}

angewandt, der ergibt dann

\int_{Ω} g (X (ω)) d P (ω) = \int_{X^{- 1} (ℝ)} g (X (ω)) d P (ω) \overset{!}{=} \int_{ℝ} g (x) d P_{X} (x)

.

Soweit gilt das für alle reellen Zufallsgrößen (stetig, diskret, und auch andere). Speziell für absolutstetige Zufallsgrößen hat

P_{X}

die Radon-Nikodym-Dichte

f_{X}

bzgl. des Lebesgue-Maßes

λ

, und da kann man das Integral auch so schreiben

\int_{ℝ} g (x) f_{X} (x) d λ (x) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

,

letzteres wiederum, wenn das da rechts stehende uneigentliche Riemann-Integral existiert.

Für diskrete Zufallsgrößen mit dem Zählmaß

P_{X} (A) = \sum_{k} p_{k} δ_{x_{k}} (A)

(d.h., es ist

p_{k} = P (X = x_{k})

) geht es ausgehend von (*) hingegen so weiter:

E (g (X)) = \sum_{k} p_{k} \int_{ℝ} g (x) d δ_{x_{k}} = \sum_{k} p_{k} g (x_{k}) = \sum_{k} P (X = x_{k}) g (x_{k})

.

Das wären dann die Berechnungsformeln für

E (g (X))

in zwei wichtigen Spezialfällen.

NotAMatheGenie aktiv_icon

13:18 Uhr, 11.01.2019

Das war sehr informativ, danke dir!

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