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Verteilungsfunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Verteilungsfunktionen

Tags: Verteilungsfunktion

Mo007 aktiv_icon

21:37 Uhr, 23.01.2015

Hallo Leute,

ich sitz mal wieder vor einer Aufgabe und komm da einfach nicht weiter. Wahrscheinlich wird der eine oder andere von euch wieder denken, dass das total trivial ist aber ich steh da glaub ich komplett auf'm Schlauch :-( und bitte euch deshalb um Hilfe.

Hier die Aufgabe:

Es sei

F : ℝ \to [0; 1]

eine streng monoton wachsende stetige Verteilungsfunktion. Eine Zufallsgröße X sei gleichverteilt auf dem Intervall [0;1]. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße

Y = F^{- 1} ○ X

.

Tja, bisher bin ich noch nicht soweit gekommen ehrlich gesagt. Was ich mir bisher überlegt hab ist eigentlich nur, dass ja

F^{- 1}

die Umkehrfunktion von F ist, also

F^{- 1} : [0; 1] \to ℝ

.

Und X soll ja gleichverteilt auf [0;1] sein, also muss gelten:

F (x) = {\binom{\binom{0, x < 0}{x, 0 \leq x \leq 1}}{1, x > 1}

.

Aber wie verknüpfe ich denn die beiden Sachen? Das ist mir irgendwie nicht klar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:17 Uhr, 23.01.2015

"Und X soll ja gleichverteilt auf [0;1] sein, also muss gelten"

Muss nicht. Kann auch nicht, denn diese

F

ist keinesfalls streng monoton wachsen.
Außerdem kannst Du

F

gar nicht genau kennen.

Die Verteilungsfunktion von

Y

ist nach Definition

F_{Y} (x) = P (Y \leq x)

und jetzt geht es darum, diese W-keit irgendwie zu berechnen. Es gilt z.B.

P (Y \leq x) = P (F (Y) \leq F (x))

- begründe, warum. Andererseits,

F (Y)

ist gleichverteit auf

[0, 1]

, also kann man

P (F (Y) \leq F (x))

direkt berechnen.

Mo007 aktiv_icon

23:01 Uhr, 23.01.2015

Also jetzt versteh ich gerade gar nichts mehr. In der Aufgabenstellung steht doch, dass X gleichverteilt auf [0;1] und F streng monoton wachsend sein soll. Wieso sagst du jetzt, dass das nicht sein kann?

Mo007 aktiv_icon

23:01 Uhr, 23.01.2015

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23:05 Uhr, 23.01.2015

"Wieso sagst du jetzt, dass das nicht sein kann?"

Das sage ich auch nicht. Ich weiß nicht, wo Du es gelesen hast.

Ich sage nur, das Du Unsinn geschrieben hast.
Du verwendest z.B.

F (x)

anscheinend für die Verteilungsfunktion von

X

, aber das kannst Du nicht,

F (x)

ist schon reserviert in dieser Aufgabe, das ist die gegebene monotone Funktion.
Du musst einfach besser aufpassen, was Du schreibst.

Mo007 aktiv_icon

23:12 Uhr, 23.01.2015

Aber wie soll ich denn sonst die Verteilungsfunktion von X aufschreiben, wenn nicht als F(x)? Ich muss doch diese Information irgendwie verwenden. Und woran seh ich denn überhaupt, dass F(x) "reserviert" ist?

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23:17 Uhr, 23.01.2015

Du hast doch in der Aufgabe stehen:
"Es sei

F : ℝ \to [0; 1]

eine streng monoton wachsende stetige Verteilungsfunktion"

Damit ist

F

belegt, wie willst Du zwei unterschiedliche Funktionen mit einem Buchstaben bezeichnen? :-O So kommst Du nur durcheinander.
Du kannst die Verteilungsfunktion von

X

mit

F_{X}

bezeichnen oder gar mit

V

, niemand verpflichtet Dich,

F

zu nutzen. Du musst nur schreiben, dass es die Verteilungsfunktion von

X

ist.

Mo007 aktiv_icon

23:28 Uhr, 23.01.2015

Ok. Dann seien jetzt eben die Verteilungsfunktionen von X und Y benannt als

F_{x}

und

F_{y}

. Und weil X ja gleichverteilt auf [0;1] sein soll, gilt

F_{x} = {\binom{\binom{0, x < 0}{x, 0 \leq x \leq 1}}{1, x > 1}

Unf

F_{y}

ist ja dann gesucht. Besser so?

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23:29 Uhr, 23.01.2015

Ja, so kann es gehen. Der Rest ist einfach, ich habe oben geschrieben, was zu tun ist.

Mo007 aktiv_icon

23:49 Uhr, 23.01.2015

Also du hast ja geschrieben, dass F(Y) gleichverteilt auf [0;1] ist. Und das ist so, weil

F (Y) = F (F^{- 1} ○ X)

und X ja schon gleichverteilt auf [0;1] ist und

F^{- 1}

ja von [0;1] auf

ℝ

abbildet, richtig? Also kann ich jetzt sagen,

F (Y) = {\binom{\binom{0, x < 0}{x, 0 \leq x \leq 1}}{1, x > 1}

?

Aber ich weiß doch noch immer nichts über F(x). Also wie soll ich denn da jetzt diese Wahrscheinlichkeit direkt berechnen?

Mo007 aktiv_icon

23:55 Uhr, 23.01.2015

Und was muss ich mir denn überhaupt jetzt unter F(Y) und F(x) vorstellen? Das sind irgendwelche Verteilungsfunktionen von Y und x aber nicht

F_{y}

bzw.

F_{x}

. Irgendwie verwirrt mich das gerade ganz schön.

Mo007 aktiv_icon

00:01 Uhr, 24.01.2015

Oder bedeutet "F(Y) ist gleichverteilt auf [0;1] eher das hier?

F_{F (Y)} = {\binom{\binom{0, F (Y) < 0}{F (Y), 0 \leq F (Y) \leq 1}}{1, F (Y) > 1}

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10:08 Uhr, 24.01.2015

"Aber ich weiß doch noch immer nichts über F(x). Also wie soll ich denn da jetzt diese Wahrscheinlichkeit direkt berechnen?"

F (x)

bleibt auch in der Antwort.

"Oder bedeutet "F(Y) ist gleichverteilt auf [0;1] eher das hier?"

Das ist auch falsch, weil

F (Y)

eine Zufallsvariable ist, keine Zahl.

Eigentlich geht es ganz einfach:
Da

F (Y) = X

gleichverteilt auf

[0, 1]

ist, gilt

P (F (Y) \leq y) = y

für

y

[0, 1]

und

P (F (Y) \leq y) = 0

für

y < 0

P (F (Y) \leq y) = 1

für

y > 1

.

Daraus hast Du sofort die Verteilungsfunktion für

Y

F_{Y} (x) = P (Y \leq x) = P (F (Y) \leq F (x)) = F (x)

, denn

F (x) \in [0, 1]

für alle

x

Mo007 aktiv_icon

12:37 Uhr, 24.01.2015

Hallo,

es tut mir leid aber ich versteh einfach nicht, was du da genau machst.

Warum gilt denn F(Y)=X? Wie kommst du darauf? Also, wenn das gilt, dann ist klar, dass F(Y) eine Zufallsvariable ist, weil ja X eine ist. Aber ich dachte, F(Y) ist eine Verteilungsfunktion von Y, weil doch F nach Voraussetzung eine Verteilungsfunktion sein soll?

Ach, warte mal. Ist es vielleicht so:

F (Y) = F (F^{- 1} ○ X) = F ○ F^{- 1} ○ X = X

Mo007 aktiv_icon

13:52 Uhr, 24.01.2015

Also den formalen Weg habe ich jetzt glaub ich verstanden. Allerdings hakt es bei mir inhaltlich leider immernoch. :-( Wie kann denn eine Verteilungsfunktion gleichzeitig auch eine Zufallsvariable sein? Das mag mir irgendwie nicht einleuchten. Vielleicht kannst du mir das irgendwie nochmal in Worten verständlich machen?

DrBoogie aktiv_icon

14:02 Uhr, 24.01.2015

"Ist es vielleicht so"

Ja, so.

DrBoogie aktiv_icon

14:12 Uhr, 24.01.2015

"Wie kann denn eine Verteilungsfunktion gleichzeitig auch eine Zufallsvariable sein?"

Kann sie nicht.

Nochmal.

F (X)

ist eine Funktion, also eine Abbildung

ℝ \to ℝ

X

ist eine Zufallsvariable, also eine Abbilding

Ω \to ℝ

(wobei wir nicht genau wissen, was

Ω

ist, nur wissen, dass es ein W-keitsraum ist).

Y

ist definiert als

F^{- 1} \circ X

, deshalb ist

Y

auch eine Zufallsvariable, denn

F^{- 1}

ist genauso wie

F

eine Funktion, also eine Abbilding

ℝ \to ℝ

, daher ist

Y = F^{- 1} \circ X

eine Abbildung

Ω \to ℝ

als eine Komposition von Abbildung

X : Ω \to ℝ

und Abbildung

F^{- 1} : ℝ \to ℝ

.

Natürlich gilt auch

F (Y) := F \circ Y = F \circ F^{- 1} \circ X = X

, also ist

F (Y)

eine Zufallsvariable und sie ist sogar exakt gleich

X

.

So, jetzt die Verteilungsfunktionen. Zu jeder Zufallsvariable gehört eine Verteilungsfunktion, die traditionell mit

F

bezeichnet wird, was aber in unserem Fall etwas blöd ist, denn wir haben schon eine

F

. Daher sagte ich, dass wir Verteilungsfunktionen von

X

und

Y

lieber als

F_{X}

und

F_{Y}

bezeichnen. Es stellt sich zwar heraus, dass

F_{Y} = F

, aber das können wir nicht wissen am Anfang.
Verteilungsfunktionen sind Abbildungen

ℝ \to ℝ

(sogar

\to [0, 1]

), also sind sie natürlich keine Zufallsvariablen. Eine Verteilungsfunktion

F_{X}

hängt mit "ihrer" Zufallsvariable so zusammen:

F_{X} (x) = P (X \leq x)

.

Hoffentlich ist es jetzt klarer.

Mo007 aktiv_icon

11:13 Uhr, 25.01.2015

Ja, ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Diesen ganzen F's haben mich einfach durcheinander gebracht.

Vielen Dank für deine Hilfe!

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