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Verwunderliches Rechenspiel

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Sonstiges

Tags: Division, Quersumme

Maschinenbauer aktiv_icon

22:04 Uhr, 25.05.2011

Hallo,

ich bin neu hier und hoffe, dass ich das richtige Forum gefunden habe. Ich habe eine kleine Frage zu einem Rechenspiel, wo ich einfach keine Antwort drauf weiß und vielleicht kann mir hier ja jemand helfen!

Ein Bekannter von mir hat mit seinem Enkel Hausaufgaben gemacht. Aufgabe war, sich eine beliebige dreistellige Zahl auszudenken und diese dann durcheinander zu würfeln und diese beiden Zahlen voneinander abzuziehen.

Beispiel:

432 - 234 = 198

981 - 891 = 90

usw.

Dabei ist ihm dann aufgefallen, dass die Quersumme dieser Ergebnisse immer 9 oder ein Vielfaches von

9 (18,27

usw.) ist.

Nach einigem hin- und hergerechne ist mir dann noch aufgefallen, dass dieses Phenomen unabgängig von der Anzahl der Stellen ist! Die Quersumme ist immer 9 oder ein Vielfaches von 9.

Meine Frage wäre jetzt WARUM?? Was steckt da dahinter, dass das so ist??
Vielleicht kann mir ja hier jemand helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Multiplikation und Division von Brüchen

anonymous

23:04 Uhr, 25.05.2011

432 - 234 =

?

Beide Zahlen sind ja durch die Quersumme 9 teilbar.

432 : 9 = 48

234 : 9 = 26

Demnach ist doch

(48 - 26) \cdot 9

das selbe wie

432 - 234

22 \cdot 9 = 198

Wenn ich zwei Zahlen mit der Quersumme 9 voneinander abziehe, heißt das doch dass beide Zahlen durch 9 teilbar sind. Dann Klammere ich die 9 einfach aus. Und ganz egal welche natürliche Zahl da rauskommt, muss sie ja durch 9 Teilbar sein.

Das Spielchen kann ich dann natürlich mit allen Quersummenzahlen machen.
-

Wolf-Uwe-Gordon aktiv_icon

23:29 Uhr, 25.05.2011

@Sam du kannst das aber auch

z . B

. mit

311

und

113

machen, wenn ich mich nicht irre sind das sogar zwei Primzahlen, trotzdem kommt eine durch neun teilbare Zahl raus. VIelleicht kann man das mit Hilfe von Folgen und Funktionen beweisen, oder es findet zufällig jemand ein Gegenbeispiel.

anonymous

00:25 Uhr, 26.05.2011

Kannst leicht nachweisen für deinen Fall mit 3 Ziffern , dass es immer gilt mit Zahlendrehen ( Subtrahieren) und durch 9 teilbar :

(100 a + 10 b + c) - (a + b + c) = 9 x

99 a + 9 b = 9 x

9 (11 a + b) = 9 x

11 a + b = x

\Rightarrow

durch 9 teilbar

Für Zahlen ab

10

gilt diese Regel übigens schon ; also für 2 ziffrige Zahlen gilt sie auch :

Bsp

: 10 - 01 = 9

oder

21 - 12 = 9

Beweis

10 \cdot a + b

–

(a + b) = 10 \cdot a + b

– a –

b = 9 a \Rightarrow

ist durch 9 teilbar

Wenn es für

10

hoch 1 gilt muss das ganze auch für

10

hoch

n

und deren Vielfache gelten wie

z . b

. für 3 Ziffern oder auch mehr wie oben , kann man dann durch nen Induktionsbeweis noch nachweisen oder für jede Ziffernanzahl wie oben mit mehreren Variablen berechnen .

Deine Zehner

-,

Hunderterstelle usw. fällt durchs Drehen immer um 1 nach unten und dann hast du eine durch 9 teilbare Zahl damit , da ja

10 - 1 = 9

oder

100 - 1 = 99

usw.

Die Einerziffer fällt durchs Drehen praktisch weg: oben

z . B

c - c = 0

.

Damit hast du dann bei Ziffernlänge

n

automatisch eine durch 9 teilbare Zahl , da du praktisch nur

n

fach doppelte Primfaktoren von 3 addierst , wenn du es zerlegst .
Damit sind immer mindestens die Primfaktoren

3 \cdot 3 = 9

ausklammerbar und daher kann die neue Zahl durch 9 geteilt werden .

Hier nochmal der Allgemeine Beweis :

Behauptung folgende Formel gilt für

n

größer gleich 1 und

n

ist ne ganze Zahl :

10^{n} \cdot a + 10^{n - 1} b + ... + 10^{0} c - (a + b + . . + c) = 9 x

Man kann nun testen die Formel gilt für

n = 1,

wäre Induktionsanfang .
Dann kann man das ganze mit Induktion nachweisen , dass diese Formel für

n + 1

auch gilt mit einsetzten udn ausklammern der 9 und damit allegmein dann gilt.
( ist mir zuviel zum hintippen jetzt )

\Rightarrow

gilt dann immer für

n

mindestens 1 und ganze Zahlen die eben

n

größer gleich 1 sind .

Bummerang

02:24 Uhr, 26.05.2011

Hallo,

was

x x x x D

hier beweist ist nicht, dass die Differenz zu jeder ziffernvertauschten Zahl durch 9 teilbar ist, sondern dass die Differenz zur Quersumme durch 9 teilbar ist. Die logische Konsequenz daraus, dass die Differenz einer Zahl zu seiner Quersumme durch 9 teilbar ist ist, dass jede Zahl bei der Division durch 9 den selben Rest läßt wie die Quersumme. Damit hat

\times \times D

hier einfach mal die Teilbarkeitsregel für die 9 bewiesen, das aber war nicht der Sinn der Aufgabe.

Allgemein gilt für eine n-stellige Zahl

m :

m = \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} \cdot 10^{k})

0 \leq a_{k} \leq 9

Sei nun

(i_{0}, i_{1}, ..., i_{n})

eine Permutation der Zahlen

0, 1, ..., n,

dann ist:

m_{u} = \sum_{k = 0}^{n} (a_{i_{k}} \cdot 10^{k})

eine Zahl mit vertauschten Ziffern und es gilt, dass die Quersummen gleich sind, also:

\sum_{k = 0}^{n} (a_{k}) = \sum_{k = 0}^{n} (a_{i_{k}})

Dann olgt damit wegen der Transitivität der Zahlenkongruenzen, dass die Ausgangszahl und die umgeordnete Zahl bei der Division durch 9 den selben Rest lassen, damit lassen sich sowohl

m

als auch

m_{u}

darstellen als:

m = 9 \cdot z_{1} + r

und

m_{u} = 9 \cdot z_{2} + r

mit

0 \leq r < 9

\Rightarrow r = m - 9 \cdot z_{1} = m_{u} - 9 \cdot z_{2}

\Rightarrow m - m_{u} = 9 \cdot z_{1} - 9 \cdot z_{2} = 9 \cdot (z_{1} - z_{2})

Damit ist bewiesen, dass jede Differenz zweier Zahlen, die nur durch Umordnung der Ziffern auseinander hervorgegangen sind, durch 9 teilbar ist.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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