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Vielfachheit irreduzibler Unterdarstellungen

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10:28 Uhr, 16.04.2021

Hallo zusammen
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei

ρ : S_{3} \to

GL(

ℂ^{4})

die Darstellung von

S_{3}

so dass

ρ ((12)) = (\begin{matrix} 2 & - 3 & 0 & 3 \\ - 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \\ - 2 & 2 & 0 & - 3 \end{matrix})

und

ρ ((123)) = (\begin{matrix} - 2 & 3 & 0 & - 3 \\ - 1 & - 2 & 2 & 1 \\ - 2 & 0 & 2 & - 1 \\ 1 & - 3 & 1 & 3 \end{matrix})

Bestimmen Sie die Vielfachheiten der irreduziblen Unterdarstellungen von

ρ

.

Ich habe in meinem Skript folgenden Satz gefunden:
Ist

ρ = ρ_{1}

⊕···⊕

ρ_{n}

eine Zerlegung einer Darstellung

ρ

in irreduzible Darstellungen und

σ

eine irreduzible Darstellung, so ist die Anzahl

ρ_{i}

die äquivalent zu

σ

gleich

(χ_{ρ}, χ_{σ})

. Insbesondere ist

(χ_{σ}, χ_{σ})

stets eine nichtnegative ganze Zahl und

(χ_{ρ}, χ_{ρ}) = 1

genau dann, wenn

ρ

irreduzibel ist. Hier ist Chi_rho der Charakter der Darstellung

ρ

.

Ich habe den Eindruck, dass dies und die Charaktertafel von

S_{3}

ausreichen um die Vielfachheiten zu berechnen, ich komme aber nicht dahinter, wie ich das genau tun muss.

Wenn mir da jemand einen Hinweis geben könnte, wäre ich sehr dankbar.

Gruss
Baumstamm

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."