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Vollständige Induktion

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Tags: Induktion

mathelow123 aktiv_icon

20:35 Uhr, 24.09.2013

Hi, habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Beweise folgende Aussage durch vollständige Induktion:

Für jedes

n

Element aus

N

ist

10^{n} + 18 n - 28

duch

27

teilbar.

Als Induktionsanfang habe ich

n = 1

eingesetzt, dann kam aber 0 als Ergebnis raus, und habe daher das gleiche nochmal mit

n = 2

gemacht, sodass

108

herauskommt, und

\frac{108}{27} = 4,

also durch

27

teilbar.

Wie mache ich jetzt aber weiter? Die Induktion sagt ja, dass wenn gegebenes für

n

gilt, gilt es auch für

n + 1,

aber wie mache ich das hier?

Hoffe, mir kann jemand helfen ;-)

MfG
mathelow123

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CRS-55 aktiv_icon

21:45 Uhr, 24.09.2013

Hallo!

Den Induktionsanfang hst du ja schon gemacht für n=2. Daraus bekommst du die Induktonsvoraussetzung:

10^n +18*n -28 ist durch 27 teilbar für alle n € N.

Jetzt gehst du über zum Induktionsschritt: n-> n+1

Also ist zu Zeigen:

10^(n+1) + 18*(n+1) - 28 ist durch 27 teilbar für alle n € N

wobei du die Induktionsvoraussetzung verwenden darfst.

---

Man könnte so vorgehen:

z.Z.: 10^(n+1) + 18*(n+1) - 28 ist durch 27 teilbar für alle n € N

<=>

z.Z.: (10^n)*10 + 18n+18 - 28 ist durch 27 teilbar für alle n € N

<=>

z.Z.: (10^n)+9*(10^n) + 18n +18 - 28 ist durch 27 teilbar für alle n € N

Jetzt kann die Induktionsvoraussetzung verwendet werden: Der fettgeschriebene Teil ist durch 27 telbar. Also bleibt nur noch:

z.Z.: 9*(10^n) +18 ist durch 27 teilbar für alle n € N

<=>

z.Z.: (1/9) * [9*(10^n) + 18] ist durch (27/9) teilbar für alle n € N

<=>

z.Z.: (10^n) + 2 ist durch 3 teilbar für alle n € N

Jetzt könnte man evtl. über Quersumme gehen:

Quersumme von (10^n) = 1

Quersumme von 2 = 2

=> Quersumme von (10^n) + 2 = 3

=> (10^n) + 2 ist durch 3 teilbar für alle n € N

==> 10^n +18*n -28 ist durch 27 teilbar für alle n € N

DrKlenk aktiv_icon

22:10 Uhr, 24.09.2013

Hi,

von mir aus gesehen darfst du ruhig 1 einsetzen, dann kriegst du tatsächlich

0,

aber 0 ist ja ohne Rest durch

27

teilbar. Somit hast du gezeigt dass die Behauptung für

n = 1

stimmt, was schon der Induktionsanfang ist.

Als Induktionsvoraussetzung muss gelten

10^{n} + 18 n - 28

.

Du gehst also davon aus, dass die Behauptung für

n

schon wahr ist und zeigst, dass es dann auch für

n + 1

stimmen muss:

10^{n + 1} + 18 (n + 1) - 28 = 10^{n} \cdot 10 + 18 n + 18 - 28 =

Der eingeklammerte Teil muss ja nach Induktionsvoraussetzung schon erfüllt (also durch

27

teilbar) sein:

(10^{n} + 18 n - 28) + 9 \cdot 10^{n} + 18

Der rechte eingeklammerte Teil ergibt immer eine ganze Zahl. Ich bin mir nicht sicher ob dies nicht auch noch bewiesen werden müsste, aber

\frac{10^{n}}{3}

muss ja immer was mit Rest

\frac{1}{3}

geben, wozu du immer

\frac{2}{3}

addierst und somit eine ganze Zahl bekommen musst:

(10^{n} + 18 n - 28) + 27 (\frac{10^{n}}{3} + \frac{2}{3})

Somit kriegst du etwas, das durch

27

teilbar ist (nach Induktionsvoraussetzung), wozu du immer ein ganzzahliges Vielfaches von

27

addierst, womit dein Ergebnis immer noch durch

27

teilbar sein muss.

Ich habe hier noch Probleme gefunden die genau demselben Prinzip entsprechen:

http//www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

Gruss

rundblick aktiv_icon

22:47 Uhr, 24.09.2013

Darstellungs - Variante:

Induktionsvoraussetzung

: 10^{n} + 18 n

−

28 = 27 \cdot k \to

mit

k \in N

Schritt von

n

auf

n + 1

zu zeigen:

10^{n + 1} + 18 (n + 1)

−

28 = 27 \cdot m \to

mit

m \in N

es ist:

10^{n} + 18 n

−

28 + 9 \cdot 10^{n} + 18 =

27 \cdot k + 9 \cdot 10^{n} + 18 =

27 \cdot k + 9 \cdot (10^{n} + 2) \to

und da

(10^{n} + 2)

durch 3 teilbar (Quersumme

!) \to

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

(10^{n} + 2) = 3 \cdot p \to

mit

p \in N

also

10^{n + 1} + 18 (n + 1)

−

28 = 27 \cdot k + 9 \cdot 3 \cdot p

10^{n + 1} + 18 (n + 1)

−

28 = 27 \cdot m \to

mit

m = (k + p) \in N

qed

mathelow123 aktiv_icon

23:05 Uhr, 24.09.2013

Ahja, vielen vielen Dank an alle, hat sich hiermit erledigt ;-)

mathelow123 aktiv_icon

11:28 Uhr, 25.09.2013

hi, habe doch noch eine frage: wie kommt man auf die

9 \cdot 10^{n},

die in oberen Beiträgen immer wieder erwähnt wurden? MfG

Underfaker aktiv_icon

11:31 Uhr, 25.09.2013

Habe nur kurz drüber gesehen aber

10^{n + 1} = 10 \cdot 10^{n} = 9 \cdot 10^{n} + 10^{n}

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