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Vollständige Induktion 2^n > n2

Universität / Fachhochschule

Tags: Vollständige Induktion Ungleichung

Koerbi

15:43 Uhr, 10.05.2022

Hallo liebes Forum,

ich habe folgendes Problem zu lösen und ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
Zeigen Sie, dass

2^{n} > n^{2}

für

n \geq 5,

mit

n

Element

N

Diese Frage wurde im Netz auch schon gestellt, aber die Lösungswege konnte ich nicht nachvollziehen. Ich zeige aber gerne, wo es hakt. :-)

IV:

2^{n} > n^{2}

IA:

2^{5} > 5^{2}

Induktionsschritt:

n \to n + 1

2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2}

2^{n} + 1 > n^{2} + 2 n + 1

2 (2^{n}) > 2 n^{2}

(verstehe ich das richtig:

2 n^{2}

darf ich hier auf der rechten Seite einsetzen, weil ich

2^{n}

mit 2 multipliziere und dann umforme:

2^{n + 1} = 2 (2^{n}) > 2 (n^{2})

und

2^{n} > n^{2}

wäre ja die Indukstionsvorraussetzung. Ich habe also einfach nur beide Seiten mal zwei genommen und damit den ersten Induktionsschritt vollzogen, ja?

Falls das stimmt, wird's jetzt aber kurios:

2 n^{2} < 2^{n + 1}

n^{2} + n^{2} > {(n + 1)}^{2}

(was ist hier los? In welcher Beziehung stehen bitte

2^{n + 1}

und

{(n + 1)}^{2},

dass ich die quasi austauschen darf?)

n^{2} + n^{2} > n^{2} + 2 n + 1

n^{2} > 2 n + 1

qed

Was bitte habe ich bewiesen?
ich muss doch folgendes beweisen:

2^{n} > n^{2}

und nicht:

2 n + 1 < n^{2}

Die Aufgabe stammt aus dem Buch von Robert Magnus "Fundamental Mathematical Analysis". Leider ohne Lösung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:59 Uhr, 10.05.2022

Hallo
im Induktionsschritt muss man immer die Ind. vors benutzen und die Behauptung hinschreiben-
also Vors

2^{n} > n^{2}

Beh

2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2}

Benutzen der Vors

2 (n + 1) = 2^{n} + 2^{n} > n^{2} + n^{2}

jetzt

n^{2} > 2 n + 1

für

n > 5

(auch das müsste man theoretisch noch wieder zeigen) etwa kurz

25 > 10 + 1

und

2 n^{2} > 4 n + 2 > 2 n + 2 + 1

deshalb

n^{2} + n^{2} > n^{2} + 2 n + 1 = {(n + 1)}^{2}

zusammengefasst

2^{n + 1} > 2 n^{2} > {(n + 1)}^{2}

also die Induktionsbehauptung
Gruß ledum

Koerbi

16:40 Uhr, 10.05.2022

Vielen Dank für dein Ausführungen, aber ich verstehe es leider nicht.
Wenn ich mir deine Berechnungen anschaue

2 (n + 1) = 2 n^{2} + 2 n^{2}

denke ich mir immer noch wie ganz am Anfang: Woher kommt

2 (n + 1)

(und wo ist mein

2 n + 1

ohne Klammern hin?)
Bevor ich andere Sachen frage hilft mir das wahrscheinlich am meisten weiter.

Habe ich denn oben alles korrekt ausgeführt?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

16:47 Uhr, 10.05.2022

Im Bild die Aufgabe

3.1)

HAL9000

16:56 Uhr, 10.05.2022

Der für alle

n \geq 5

durchzuführende Induktionsschritt

n \to n + 1

eines solchen Ungleichungsbeweises besteht im wesentlichen aus einer Ungleichungskette, deren Bestandteile natürlich begründet werden sollten. Das kann z.B. so aussehen:

2^{n + 1} = 2 \cdot 2^{n} \overset{I V}{>} 2 \cdot n^{2} \overset{(1)}{\geq} n^{2} + 5 n \overset{(2)}{\geq} n^{2} + 2 n + 15 > {(n + 1)}^{2}

.

mit folgenden Begründungen: IV steht für die Induktionsvoraussetzung

2^{n} > n^{2}

; (1) basiert auf dem aus

n \geq 5

folgendem

n^{2} \geq 5 n

, aus dem selben Grund folgt

3 n \geq 15

und damit (2).

----------------

Was überhaupt nicht geht, sind jede Menge "frei hängende" Terme bzw. Ungleichungen, bei denen man jeweils rätseln muss: Ist das jetzt schon bewiesen, oder soll das noch die Behauptung sein bzw. eine äquivalente Umformung davon? Davon ist jede Menge in deinem Eröffnungsbeitrag zu besichtigen: Ein wildes Brainstorming zum Thema...

Kartoffelchipsman aktiv_icon

17:13 Uhr, 10.05.2022

Und rechts daneben in dem von mir zuvor angehängten Bilde

ist sogar noch eine weitere Version von echten Profis mit dem

klangvollen Namen

3 . A

.

Somit hast Du hier jetzt ne richtige Wohlfühlpackung Lösungen...

Koerbi

18:24 Uhr, 10.05.2022

Danke an euch alle. ich habe den Weg bis zum Ergebnis nachvollziehen können, aber ich verstehe noch immer nicht das Problem aus meiner Ursprungsfrage:

n^{2} > 2 n + 1

soweit klar

aber gesucht war doch was anderes, nämlich:

2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2}

Wie stehen die beiden Ungleichungen in Relation?

rundblick aktiv_icon

18:35 Uhr, 10.05.2022

.
dein Fehler beim Induktionsbeweis:

du darfst nicht von

2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2}

ausgehen (das muss sich erst am Schluss der
Beweiskette ergeben (falls die Behauptung richtig ist)

richtiger Beweisweg

\to

du gehst davon aus, dass die Beh.

2^{n} > n^{2}

richtig sei ( falls

n \geq 5)

und musst nun durch geschickte/korrekte Umformungen zeigen, dass dann daraus folgt,
dass der InduktionsSchritt

\to

von

n

auf

n + 1

\to 2^{n + 1} > {(n + 1)}^{2}

führt;
wie das geht hat ledum oben (mit kleinen "Druckfehlern" ) vorgeführt.

der eigentliche Induktionsbeweis geht dann so:

\to

die Beh stimmt für

n = 5

(direkt nachgeprüft im Induktionsanfang)

... ... ... ... ... ... ... ... . .

. weil der Schritt von 5 auf 6 stimmt (->Induktionsschritt

!) \Rightarrow

\Rightarrow

die Beh stimmt für

n = 6

... ... ... ... ... ... ... ... . .

. weil der Schritt von 6 auf 7 stimmt (->Induktionsschritt

!) \Rightarrow

\Rightarrow

die Beh stimmt für

n = 7

... ... ... ... ... ... ... ... . .

. weil der Schritt von 7 auf 8 stimmt (->Induktionsschritt

!) \Rightarrow

\Rightarrow

die Beh stimmt für

n = 8

.
.
usw
und so ist dann Schritt für Schritt lückenlos sichergestellt,
dass

2^{n} > n^{2}

für ALLE

n \in ℕ

n \geq 5

stimmt.

.

Koerbi

09:00 Uhr, 11.05.2022

Danke, ich habe es jetzt verstanden. :-)

Koerbi

09:00 Uhr, 11.05.2022

Danke, ich habe es jetzt verstanden. :-)

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