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Vollständige Induktion Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialkoeffizient, Induktion

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22:23 Uhr, 25.02.2024

Es geht um Aufgabe 1 B. aus dem Übungsbuch Analysis 1 von Forster, Kapitel "Vollständige Induktion":

---

Für eine reelle Zahl

x

und eine natürliche Zahl

k

werde definiert

(\begin{array}{l} x \\ k \end{array}) := \prod_{j = 1}^{k} \frac{x - j + 1}{j} = \frac{x (x - 1) \cdot \dots \cdot (x - k + 1)}{k!}

also insbesondere

(\begin{array}{l} x \\ 0 \end{array}) = 1

.

Man beweise für alle reellen Zahlen

x

und natürlichen Zahlen

k

(\begin{array}{l} x + 1 \\ k + 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ k + 1 \end{array}) + (\begin{array}{l} x \\ k \end{array})

---

Ich wollte es also nun mit Induktion über k probieren.

Kann mir hier bitte jemand mit dem Induktionsschritt

k \to k + 1

weiterhelfen?

Meine bisherigen Schritte:

1. Aufbrechen des Produkts

(\begin{array}{l} x + 1 \\ k + 2 \end{array}) = \prod_{j = 1}^{k + 1} \frac{x + 1 - j + 1}{j} * \frac{x + 1 - (k + 2) + 1}{k + 2} = (\begin{array}{l} x + 1 \\ k + 1 \end{array}) * \frac{x + 1 - (k + 2) + 1}{k + 2}

2. Einsetzen der Induktionsvoraussetzung

((\begin{array}{c} x \\ k + 1 \end{array}) + (\begin{array}{l} x \\ k \end{array})) * \frac{x + 1 - (k + 2) + 1}{k + 2}

Nun weiß ich leider nicht, wie ich davon auf

((\begin{array}{c} x \\ k + 2 \end{array}) + (\begin{array}{c} x \\ k + 1 \end{array}))

kommen soll :(

Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Respon

22:39 Uhr, 25.02.2024

Muss es VI sein ? Der direkte Beweis wäre bedeutend einfacher.

wuf123 aktiv_icon

23:06 Uhr, 25.02.2024

Hi, danke für die schnelle Antwort -

a) ich habe zwischendurch (bevor du deine Nachricht bearbeitet hast ;-)) deinen Ansatz über den gängigen Weg mithilfe der

\frac{n!}{k! (n - k)!}

Definition gesehen. Dies gilt aber doch nur für natürliche n und k? Laut Aufgabenstellung ist x eine reelle Zahl und keine natürliche... :(

b) wenn du mir die Schritte für den direkten Beweis zeigen könntest, wäre ich dir auch sehr dankbar - die VI wollte ich hauptsächlich als Übung bzw aus Interesse machen.

Respon

23:10 Uhr, 25.02.2024

Das sieht dann so aus:
Beginne mit den rechtsseitigen Term, wende die Definition an und forme um.

\frac{x!}{(k + 1)! \cdot (x - k - 1)!} + \frac{x!}{k! \cdot (x - k)!}

Bringe auf gemeinsamen Nenner, indem du den 1. Bruch mit

(x - k)

erweiterst und den 2. Bruch mit

(k + 1)

wuf123 aktiv_icon

23:13 Uhr, 25.02.2024

Hinweis auf meine Anmerkung von oben, falls sie untergegangen ist :-)

Laut Aufgabenstellung ist x eine reele Zahl, und kann demnach nicht in eine Fakultät umgewandelt werden? (meines Wissens nach)

Respon

23:16 Uhr, 25.02.2024

Dann verwende deine obige Definition.

wuf123 aktiv_icon

23:39 Uhr, 25.02.2024

Oh, ja tatsächlich war der direkte Beweis jetzt doch deutlich einfacher als gedacht, ich hatte wohl einen Knoten im Kopf.

Vielen Dank!!

wuf123 aktiv_icon

23:41 Uhr, 25.02.2024

Danke!

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