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Vollständige Induktion Sum (k*k!, i = 1..n)

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Sonstiges

Tags: Vollständig Induktion

Alex211 aktiv_icon

19:30 Uhr, 26.10.2012

Hallo,

ich brauche Hilfe bei den folgenden Aufgaben:

1)

Sum

(k \cdot k!, i = 1 . . n) = (n + 1)! - 1

Am Ende beim Beweis bekomme ich die Umformung nicht hin

(n + 1)! - 1 + (n + 1) \cdot (n + 1)!

auf die Behauptung: Sum

(k \cdot k!, i = 1 . . n) = ((n + 1) + 1)! - 1

2)

Für alle natürlichen Zahlen

k > 1

und alle positiven reellen Zahlen x1,...+xk

(1+xk)(1+xk)...(1+xk)

>

1+x1+x2+...+xk.

Ich bitte um eure Hilfe.

Grüße

Alex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Shipwater aktiv_icon

19:48 Uhr, 26.10.2012

1)

Klammere

(n + 1)!

aus

2)

Du hast dich wahrscheinlich bei der Aufgabenstellung verschrieben. Ansonsten fehlt hier deine Idee.

Alex211 aktiv_icon

20:47 Uhr, 26.10.2012

Wenn ich ausklammere:

n! \cdot (n + 1) - 1 + n! {(n + 1)}^{2},

wie kommt man auf

((n + 1) + 1)! - 1,

also

(n + 2)! - 1

2. (verschrieben): Für alle natürlichen Zahlen

k > 1

und alle positiven reellen Zahlen

x 1, ...,

xk gilt:

(1 + x 1) (1 + x 2) . .

. (1+xk)

> 1 + x 1 + x 2 + . .

. +xk. Meine Idee wäre: Produktzeichen(1+xk,i=2..n) = 1+sum(xk,i=2..n). Und dann würde ich mit Beispielen zeigen, dass die Produkte aufgrund der Multiplikation immer größer sind als die Summanden. Ich weiß aber nicht wie ich den Beweis richtig aufschreibe...

Shipwater aktiv_icon

21:36 Uhr, 26.10.2012

1)

So habe ich es nicht gemeint sondern

(n + 1)! - 1 + (n + 1) \cdot (n + 1)! = (n + 1)! \cdot (1 + n + 1) - 1

und damit steht es auch schon so gut wie da. Den Rest musst du selbst schaffen.

2)

Na die Aussage sollst du doch wohl auch mit vollständiger Induktion beweisen. Die ist auch so bekannt, dass du mit Google sicherlich fündig wirst. Aber wenn du Induktion kannst, dann macht sich der Beweis fast von alleine, also versuch es ruhig erst selbst.

Alex211 aktiv_icon

15:47 Uhr, 28.10.2012

1. Ok danke, 1 habe ich.

2. Ist mein Ansatz richtig? Kannst du vielleicht vorrechnen bitte.

Für die Mühe bedanke ich mich im Voraus.

Shipwater aktiv_icon

16:08 Uhr, 28.10.2012

2. Welcher Ansatz?

Alex211 aktiv_icon

16:15 Uhr, 28.10.2012

Produktzeichen(1+xk)*(1+xk+1),i=1..n)

>

1+sum(xk+xk+1,i=1..n)

Ansonsten weiß ich nicht.

Shipwater aktiv_icon

16:19 Uhr, 28.10.2012

Wow damit hast du die Aufgabenstellung (falsch) umgeschrieben, aber inwiefern soll das ein Lösungsweg sein?? Fang doch einfach mit der Induktion an, ist doch immer das selbe.

Alex211 aktiv_icon

17:37 Uhr, 28.10.2012

1. I.A. Für

n = 2

ist:

(1 + x 1) (1 + x 2) = (1 + x 2 + x 1) + x 1 x 2 > 1 + x 1 + x 2

2 a

. I.V. ((1+x2+x1)+x1x2)*(1+xn)

>

1+x1+x2+xn

2 b

. I.Beh. (1+x1)(1+x2)(1+xn)

>

1+x1+x2+xk+1 ?

2 c

. I.Bew.

(1 + x 1) (1 + x 2) (x 1 + k) \cdot > 1 + x 1 + x 2 + x 2

Ich weiß es wirklich nicht.

Shipwater aktiv_icon

19:32 Uhr, 28.10.2012

Schreib das mal bitte ordentlich auf. Tipp: x_k wird zu

x_{k}

und x_(k+1) zu

x_{k + 1}

Alex211 aktiv_icon

20:02 Uhr, 28.10.2012

1. I.A. Für

n = 2

ist:

(1 + x_{1}) (1 + x_{2}) = (1 + x_{2} + x_{1}) + x_{1} \cdot x_{2} > 1 + x_{1} + x_{2}

2 a

. I.V.

((1 + x_{2} + x_{1}) + x_{1} \cdot x_{2}) \cdot (1 + x_{n}) > 1 + x_{1} + x_{2} + x_{k}

2 b

. I.Beh.

(1 + x_{1}) \cdot (1 + x_{2}) \cdot (1 + x_{n} + 1) > 1 + x_{1} + x_{2} + x_{k} + 1

2 c

. I.Bew.

(1 + x_{1}) \cdot (1 + x_{2}) \cdot (1 + x_{k} + 1) > 1 + x_{1} + x_{2} + x_{3}

Ich weiß es wirklich nicht.

Shipwater aktiv_icon

20:06 Uhr, 28.10.2012

Induktionsanfang sieht gut aus, allerdings verstehe ich den Rest nicht. Arbeite doch mit Summen- und Produktzeichen dann sieht das alles überschaubarer aus. Dein Ziel im Induktionsschritt ist aus