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Vollständige Induktion - Umformungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Äquivalenzumformung, umformung, Vollständig Induktion

paper-mate aktiv_icon

18:12 Uhr, 13.10.2016

Hi,

mir ist das Prinzip der vollständigen Induktion klar, allerdings hänge ich immer bei den finalen Umformungen. Mir fehlt möglicherweise einfach die Kreativität bzw. ich erkenne nicht, wie ich durch Umformungen zum Ziel komme. 2 Beispiele:

Für den Beweis der Induktionsbehauptung müsste ich zeigen:

\frac{1}{3} \cdot n \cdot (n^{2} - 1) + (n + 1) \cdot ((n + 1) - 1) = \frac{1}{3} \cdot (n + 1) \cdot ({(n + 1)}^{2} - 1)

Das zweite Beispiel sieht so aus (wie oben nach Einsetzen der Induktionsvoraussetzung):

1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2} - 5 \cdot (n + 1) + 6} = 1 - \frac{1}{(n + 1) - 2}

Hier habe versucht den Nenner auszumultiplizieren und damit weiterzurechnen (linke Seite):

1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n^{2} + 2 \cdot n + 1 - 5 \cdot n - 5 + 6} = 1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n^{2} - 3 \cdot n + 2} = 1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{(n - 1) \cdot (n - 2)}

usw. aber irgendwie schaffe ich es nicht zur rechten Seite umzuformen.

Hat jemand Tipps wie man solche Äquivalenzumformungen am besten angeht?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

mueschbrot aktiv_icon

18:32 Uhr, 13.10.2016

Ich kann dir nicht versprechen, dass ich hilfreich bin... aber bisher kam ich mit Induktionsbeweisen immer ganz gut klar. Kannst du mir für das 2. Beispiel die komplette Aufgabe geben und mir sagen, was genau du schlussendlich bewiesen haben möchtest? :-) (also eine Teilbarkeit oder was auch immer)

Liebe Grüße
Mueschbrot

paper-mate aktiv_icon

19:06 Uhr, 13.10.2016

Hi, die Aufgabe ist:

\sum_{k = 4}^{n} \frac{1}{k^{2} - 5 k + 6} = \frac{1}{n - 2}

für

n \geq 4

(Sorry, das hab ich tatsächlich vergessen zu erwähnen...)

Beim Induktionsschritt hab ich also den letzten Summanden aus der Summe rausgezogen:

\sum_{k = 4}^{n + 1} \frac{1}{k^{2} - 5 k + 6} = \sum_{k = 4}^{n} \frac{1}{k^{2} - 5 k + 6} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2} - 5 \cdot (n + 1) + 6}

und dann nutze ich die Voraussetzung und ersetze die Summe:

1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2} - 5 \cdot (n + 1) + 6}

und das müsste ich zu

1 - \frac{1}{(n + 1) - 2}

umformen.

mueschbrot aktiv_icon

19:36 Uhr, 13.10.2016

hmmm etwas muss hier falsch sein. Ich bin nochmal den Induktionsanfang durchgegangen und bin da auf eine nicht stimmige Lösung gekommen.
Es gilt bei Summen:

S_{n + 1} = a_{n + 1} + S_{n}

Macht man das einmal für

n = 4

a_{4} = \frac{1}{k^{2} - 5 \cdot k + 6} = \frac{1}{4^{2} - 5 \cdot 4 + 6} = \frac{1}{16 - 20 + 6} = \frac{1}{2}

S_{4} = \frac{1}{n - 2} = \frac{1}{4 - 2} = \frac{1}{2}

Hier stimmt es noch :-)

für

n = 5

a_{5} = \frac{1}{5^{2} - 5 \cdot 5 + 6} = \frac{1}{6}

S_{5} = \frac{1}{5 - 2} = \frac{1}{3}

Hier stimmt es nicht mehr.

S_{4 + 1} = S_{4} + a_{4 + 1} \to

müsste demnach dann

\frac{1}{2} + \frac{1}{6}

sein also

\frac{2}{3}

.

Liebe Grüße
Mueschbrot

ermanus aktiv_icon

19:37 Uhr, 13.10.2016

Hallo Paper-Mate,
was hältst Du davon:

1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{(n + 1)^{2} - 5 (n + 1) + 6} = 1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n^{2} - 3 n + 2} =

1 - (\frac{1}{n - 2} - \frac{1}{(n - 2) (n - 1)}) = 1 - \frac{n - 1 - 1}{(n - 2) (n - 1)} = 1 - \frac{1}{n - 1} = 1 - \frac{1}{(n + 1) - 2} .

Gruß ermanus

paper-mate aktiv_icon

19:54 Uhr, 13.10.2016

Hallo,

das auf gleichen Nenner bringen

((n - 1) \cdot (n - 2))

habe ich sogar gemacht, aber leider habe ich an den Trick mit dem Vorzeichen nicht gedacht, damit ich statt

n - 1 + 1 = n

wie gewünscht

n - 1 - 1 = n - 2

erhalte und wegkürzen kann. Danke!

@mueschbrot: Du hast natürlich recht, ich sitz leider schon zu lange an dem Zeug, dass ich sogar die Angabe falsch abgeschrieben habe. Die rechte Seite sollte

1 - \frac{1}{n - 2}

sein. ermanus hat es mir schon erklärt. Ich werd mich wieder am 1. Beispiel probieren, vielleicht schaff ich das jetzt.

Respon

19:54 Uhr, 13.10.2016

Oder mit Partialbruchzerlegung

\frac{1}{k^{2} - 5 \cdot k + 6} = \frac{1}{k - 3} - \frac{1}{k - 2}

\Rightarrow

\sum_{k = 4}^{n + 1} \frac{1}{k^{2} - 5 \cdot k + 6} = 1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{(n + 1) - 3} - \frac{1}{(n + 1) - 2} = 1 - \frac{1}{n - 2} + \frac{1}{n - 2} - \frac{1}{n - 1} = 1 - \frac{1}{n - 1}

Respon

20:22 Uhr, 13.10.2016

Wie sieht denn die Angabe für das erste Beispiel aus ?
Ich vermute

\sum_{k = 1}^{n} k \cdot (k - 1)

paper-mate aktiv_icon

20:35 Uhr, 13.10.2016

Ja genau. :-) Und zu zeigen für alle

n \geq 1,

dass es gleich

\frac{1}{3} \cdot n \cdot (n^{2} - 1)

ist.

Respon

20:48 Uhr, 13.10.2016

Für Berechnung ist es einfacher, so umzuformen:

\frac{1}{3} \cdot n \cdot (n^{2} - 1) = \frac{1}{3} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n - 1)

\Rightarrow

...

\frac{1}{3} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n - 1) + (n + 1) \cdot n = n \cdot (n + 1) \cdot [\frac{1}{3} \cdot (n - 1) + 1] = \frac{1}{3} \cdot n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)

paper-mate aktiv_icon

21:21 Uhr, 13.10.2016

Vielen Dank. Da wär ich ehrlich gesagt niemals von selbst draufgekommen. Heißt wohl weiterhin üben für mich, solche Beispiele kommen mit Sicherheit bald zur Klausur.

LG,
paper-mate

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