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Vollständige Induktion bei Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Ungleichung lösen

Labaschlau aktiv_icon

01:15 Uhr, 15.04.2025

Wie mache ich die vollständige Induktion von der Summe von

i = 1

bis

n

von

(\frac{1}{i^{2}})

ist

\leq 2 - (\frac{1}{n})

für alle

n

aus N.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

calc007

07:30 Uhr, 15.04.2025

1 .)

man beginnt mit einem Beispiel.

2 .)

Tipp:
www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-Induktion-3113

Randolph Esser aktiv_icon

11:41 Uhr, 16.04.2025

Beh.:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq 2 - \frac{1}{n}

für alle

n \in N

(I A) n = 1 : 1 \leq 2 - 1

(I S) n \to n + 1 :

Gelte die Behauptung für ein

n \in N (I V)

.

Dann folgt

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq^{(I V)} \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} + 2 - \frac{1}{n} = 2 - (\frac{1}{n} - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}) \leq 2 - \frac{1}{n + 1},

denn

\frac{1}{n} - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} \geq \frac{1}{n + 1}

\Leftrightarrow \frac{n + 1}{n} - \frac{1}{n + 1} \geq 1

\Leftrightarrow \frac{{(n + 1)}^{2} - n}{n (n + 1)} \geq 1

\Leftrightarrow \frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + n} \geq 1

HAL9000

15:13 Uhr, 16.04.2025

Nachdem in www.onlinemathe.de/forum/vollstaendige-Induktion-3113 ja auch schon so gut wie alles rausgeholt wurde, kitzle ich über die Aufgabenstellung hinaus mal noch ein bisschen mehr zur Abschätzung der Partialsumme

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}

heraus:

Bezeichnet man mit

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^{2}}

, so kann man bei fest gewähltem

m \geq 1

sowie wegen

\sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \leq \sum_{k = m + 1}^{n} (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = \frac{1}{m} - \frac{1}{n}

\sum_{k = m + 1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \geq \sum_{k = m + 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = \frac{1}{m + 1} - \frac{1}{n + 1}

für alle

n \geq m

die Abschätzung treffen

s_{m} + \frac{1}{m + 1} - \frac{1}{n + 1} \leq s_{n} \leq s_{m} + \frac{1}{m} - \frac{1}{n} (*)

.

Für

m = 1

mit

s_{1} = 1

heißt das

\frac{3}{2} - \frac{1}{n + 1} \leq s_{n} \leq 2 - \frac{1}{n}

für alle

n \geq 1

(der Teil rechts ist die Threadbehauptung).

Für

m = 2

mit

s_{2} = \frac{5}{4}

wird's schon genauer:

\frac{19}{12} - \frac{1}{n + 1} \leq s_{n} \leq \frac{7}{4} - \frac{1}{n}

für alle

n \geq 2

.

Aus (*) kann man andererseits mit Kenntnis von

lim_{n \to \infty} s_{n} = \frac{π^{2}}{6}

auch das folgern:

s_{m} + \frac{1}{m + 1} \leq \frac{π^{2}}{6} \leq s_{m} + \frac{1}{m}

, umgestellt

\frac{π^{2}}{6} - \frac{1}{m} \leq s_{m} \leq \frac{π^{2}}{6} - \frac{1}{m + 1}

- ein nettes Sandwich für die Partialsumme

s_{m}

Randolph Esser aktiv_icon

16:03 Uhr, 16.04.2025

Schöne Abschätzung.

Die Reihe ist die Zetafunktion für

s = 2

.

Sie taucht

z . B

. in Forsters Analysis 1 auf...

1590670

1590663

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